公共解

待定系数法

该方法的核心思想是求两个方程组解集的交集，尤其适用于已知方程组的基础解系但未知具体系数矩阵的情况。

方法一：代入验证法
1. 求出其中一个方程组（例如 $A_{m \times n} x = 0$ ）的通解，其形式为 $x = k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s} ξ_{s}$ ，其中 ${ξ_{1}, \dots, ξ_{s}}$ 是其基础解系。
2. 将此通解代入另一个方程组 $B_{p \times n} x = 0$ ，得到 $B (k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s} ξ_{s}) = 0$ 。
3. 利用矩阵乘法的线性性质，展开为 $k_{1} (B ξ_{1}) + k_{2} (B ξ_{2}) + \dots + k_{s} (B ξ_{s}) = 0$ 。这是一个关于待定系数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ 的新齐次线性方程组。
4. 解出 $k_{i}$ 之间的关系，并将此关系代回到 $A_{m \times n} x = 0$ 的通解表达式中，即可得到两个方程组的公共解。
方法二：通解联立法
1. 分别求出两个方程组 $A x = 0$ 和 $B x = 0$ 的通解：
  - $A x = 0$ 的通解为 $x = k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s} ξ_{s}$ 。
  - $B x = 0$ 的通解为 $x = l_{1} η_{1} + l_{2} η_{2} + \dots + l_{t} η_{t}$ 。
2. 令两个通解表达式相等： $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s} ξ_{s} = l_{1} η_{1} + l_{2} η_{2} + \dots + l_{t} η_{t}$
3. 移项整理成一个关于 $k_{i}$ 和 $l_{j}$ 的齐次方程组： $k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{s} ξ_{s} - l_{1} η_{1} - \dots - l_{t} η_{t} = 0$
4. 解出系数 $k_{i}$ （或 $l_{j}$ ）的表示式，代回原通解即可得到公共解。

[problem]

[答案]

解: $A = (101100 0 - 1), B = (10 - 1 1 1 - 1 01) 。$

两个秩都为 2, 选择前两个分量为基变量, 后两个为通解分量。

$ξ_{1} = (0, 0, 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (- 1, 1, 0, 1)^{T}, η_{1} = (0, 1, 1, 0)^{T}, η_{2} = (- 1, - 1, 0, 1)^{T}$ 。

$k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} = k_{1} (0, 0, 1, 0)^{T} + k_{2} (- 1, 1, 0, 1)^{T} = (- k_{2}, k_{2}, k_{1}, k_{2})^{T}$ 。

$l_{1} η_{1} + l_{2} η_{2} = l_{1} (0, 1, 1, 0)^{T} + l_{2} (- 1, - 1, 0, 1)^{T} = (- l_{2}, l_{1} - l_{2}, l_{1}, l_{2})^{T}$ 。

令 $(- k_{2}, k_{2}, k_{1}, k_{2})^{T} = (- l_{2}, l_{1} - l_{2}, l_{1}, l_{2})^{T}$ , 所以解得 $2 k_{2} = k_{1}$ 。

公共解为 $(- k_{2}, k_{2}, 2 k_{2}, k_{2})^{T} = k_{2} (- 1, 1, 2, 1)^{T}$ 。

该方法通过构造一个新矩阵来直接求解，特别适用于已知具体系数矩阵 $A$ 和 $B$ 的情况。

核心思想：方程组 I ( $A x = 0$ ) 和方程组 II ( $B x = 0$ ) 的公共解 $x$ 必须同时满足这两个方程。
构造方法：将两个方程组联立，等价于求解由两个系数矩阵纵向合并（“堆叠”）而成的新方程组。 $(A B) x = 0$
求解步骤：
1. 构造增广矩阵 $(A B)$ 。
2. 对该矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形或行最简形。
3. 求出该新方程组的基础解系，此基础解系张成的向量空间即为原两个方程组的公共解空间。
优点：当直接给出矩阵 $A$ 和 $B$ 时，此方法更直接、计算量可能更小，无需先分别求出各自的通解。