具体线性方程

齐次方程组

形如 $Ax=0$ 的线性方程组称为齐次线性方程组。

有解条件

• 齐次线性方程组 $Ax=0$ 必有解，因为 $x=0$ 永远是其一个解，这个解称为零解。
• $Ax=0$ 只有零解的充分必要条件是 $r(A)=n$（其中 $n$ 为未知数个数）。
• $Ax=0$ 有非零解的充分必要条件是 $r(A)<n$。
  • 当系数矩阵 $A$ 为方阵时，有非零解的条件等价于 $|A|=0$。

解的性质

齐次线性方程组的解集具有以下性质：

1. 若 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 是 $Ax=0$ 的两个解，则它们的和 ${\eta }_1+{\eta }_2$ 也是 $Ax=0$ 的解。 $A({\eta }_1+{\eta }_2)=A{\eta }_1+A{\eta }_2=0+0=0$
2. 若 $\eta$ 是 $Ax=0$ 的一个解，$k$ 是任意常数，则 $k\eta$ 也是 $Ax=0$ 的解。 $A(k\eta )=k(A\eta )=k\cdot 0=0$ 因此，齐次线性方程组的全体解构成一个向量空间，称为该方程组的解空间。

解的结构

• 如果 $r(A)=r<n$，则方程组 $Ax=0$ 的解空间维数为 $n-r$。
• 解空间的一组基称为该齐次线性方程组的一个基础解系。基础解系由 $n-r$ 个线性无关的解向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-r}$ 构成。
• 齐次线性方程组的通解可以表示为基础解系的线性组合： $x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$ 其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n-r}$ 为任意常数。

求解方法

通常采用高斯消元法求解：

1. 对系数矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵。
2. 确定矩阵的秩 $r(A)$。
3. 找出 $n-r(A)$ 个自由变量。
4. 将非自由变量（主元变量）用自由变量表示出来。
5. 依次令一个自由变量为 1，其余自由变量为 0，求出 $n-r(A)$ 个线性无关的解向量，构成基础解系。
6. 写出通解表达式。

非齐次方程组

形如 $Ax=b$（其中 $b\ne 0$）的线性方程组称为非齐次线性方程组。

有解条件

• 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有解的充分必要条件是 $r(A)=r(\bar{A})$，其中 $\bar{A}=(A|b)$ 是增广矩阵。
  • 若 $r(A)\ne r(\bar{A})$，则方程组无解。
  • 若 $r(A)=r(\bar{A})=n$（未知数个数），则方程组有唯一解。
  • 若 $r(A)=r(\bar{A})<n$，则方程组有无穷多解。

解的性质

1. 若 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 是 $Ax=b$ 的两个不同解，则它们的差 ${\eta }_1-{\eta }_2$ 是对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个非零解。 $A({\eta }_1-{\eta }_2)=A{\eta }_1-A{\eta }_2=b-b=0$
2. 若 ${\eta }^{\ast }$ 是 $Ax=b$ 的一个解，$\xi$ 是对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个解，则它们的和 ${\eta }^{\ast }+\xi$ 仍然是 $Ax=b$ 的解。 $A({\eta }^{\ast }+\xi )=A{\eta }^{\ast }+A\xi =b+0=b$
3. 非齐次线性方程组 $Ax=b$ （当 $b\ne 0$ 且有解时）的通解描述所需的线性无关向量的总数，比对应齐次线性方程组 $Ax=0$ 的线性无关解（基础解系）的向量数多一个。
   • 齐次方程 $Ax=0$ 线性无关解的个数是 $n-r$（即其解空间的维数）。而非齐次方程 $Ax=b$ 的通解可以由一个特解 ${\eta }^{\ast }$ 和齐次方程的 $n-r$ 个基础解系的线性组合来表示，而集合 $\{{\eta }^{\ast },{\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-r}\}$ 是线性无关的。

解的结构

非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的通解结构为：

$x={\xi }_h+{\eta }^{\ast }$

其中：

• ${\xi }_h=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$ 是对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的通解。
• ${\eta }^{\ast }$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的任意一个特解。

求解方法

同样采用高斯消元法：

1. 对增广矩阵 $\bar{A}=(A|b)$ 进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。
2. 观察阶梯形矩阵，判断 $r(A)$ 是否等于 $r(\bar{A})$。若出现形如 $(0,0,\dots ,0|c)$ 且 $c\ne 0$ 的行，则 $r(A)\ne r(\bar{A})$，方程组无解。
3. 若有解，继续将矩阵化为行最简形矩阵。
4. 从行最简形矩阵中求出一个特解 ${\eta }^{\ast }$（通常是令所有自由变量为 0 得到的解）。
5. 求出对应的齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系。
6. 将特解与齐次方程组的通解相加，得到非齐次方程组的通解。