向量空间

基本概念

向量空间，也称为线性空间，是线性代数中最核心和最基本的概念之一。它是一个由向量组成的集合，并且在这个集合上定义了两种运算：向量加法和数量乘法，这两种运算需要满足特定的公理（通常是八条）。

设 $V$ 是一个非空集合，$F$ 是一个数域（考研中通常指实数域 $\mathbb{R}$）。若在 $V$ 中定义了加法和数乘运算，并满足以下八条运算律，则称 $V$ 为数域 $F$ 上的一个向量空间。

1. 加法交换律：$\alpha +\beta =\beta +\alpha$
2. 加法结合律：$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$
3. 零元存在：存在零向量 $0$，使得 $\alpha +0=\alpha$
4. 负元存在：对任意 $\alpha$，存在 $-\alpha$，使得 $\alpha +(-\alpha )=0$
5. 数乘结合律：$k(l\alpha )=(kl)\alpha$
6. 数乘单位元：$1\cdot \alpha =\alpha$
7. 数乘对向量加法的分配律：$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$
8. 数乘对数域加法的分配律：$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$

维数

向量空间 $V$ 的维数定义为其基中所含向量的个数，记为 $\dim (V)$。

基

向量空间 $V$ 中的一个向量组 ${ϵ}_1,{ϵ}_2,\dots ,{ϵ}_n$，如果满足：

1. 线性无关
2. $V$ 中任何一个向量都可以由它们线性表出 则称这个向量组为向量空间 $V$ 的一个基。

坐标

设 ${ϵ}_1,{ϵ}_2,\dots ,{ϵ}_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个基，对于 $V$ 中任意一个向量 $\alpha$，存在唯一的一组数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 使得：

$\alpha =x_1{ϵ}_1+x_2{ϵ}_2+\cdots +x_n{ϵ}_n$

则数组 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 称为向量 $\alpha$ 在基 ${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n$ 下的坐标。通常写成列向量形式 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$。

考研中常见的向量空间

1. n 维向量空间 ${\mathbb{R}}^n$: 所有 $n$ 维实数列向量的集合。其自然基（标准基）为单位向量组 $e_1,e_2,\dots ,e_n$。$\dim ({\mathbb{R}}^n)=n$。
2. 齐次线性方程组的解空间：对于齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$，其全体解向量构成的集合是一个向量空间，称为解空间。其维数为 $n-r(A)$，其中 $n$ 为未知数个数，$r(A)$ 为系数矩阵的秩。解空间的基称为基础解系。
3. 向量组的生成空间：由向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 生成的向量空间 $span\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\}$，其维数等于该向量组的秩，即 $\dim (span\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\})=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)$。

基变换与坐标变换

在同一个向量空间中，可以选取不同的基。基的改变必然导致向量坐标的改变。

过渡矩阵

设 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间，有两组基：

• 基 I (旧基): ${ϵ}_1,{ϵ}_2,\dots ,{ϵ}_n$
• 基 II (新基): ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n$

将新基的向量用旧基线性表示：

$$\{\begin{array}{l}{\eta }_1=p_{11}{ϵ}_1+p_{21}{ϵ}_2+\cdots +p_{n1}{ϵ}_n\\ {\eta }_2=p_{12}{ϵ}_1+p_{22}{ϵ}_2+\cdots +p_{n2}{ϵ}_n\\ ⋮\\ {\eta }_n=p_{1n}{ϵ}_1+p_{2n}{ϵ}_2+\cdots +p_{nn}{ϵ}_n\end{array}$$

上述关系可以写成矩阵形式：

$({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n)=({ϵ}_1,{ϵ}_2,\dots ,{ϵ}_n)P$

其中矩阵 $P=(p_{ij})$ 称为由基 I 到基 II 的过渡矩阵。

关键点：

• 过渡矩阵 $P$ 一定是可逆矩阵。
• 从基 II 到基 I 的过渡矩阵为 $P^{-1}$。
• $P$ 的第 $j$ 列，是新基中第 $j$ 个向量 ${\eta }_j$ 在旧基下的坐标。

坐标变换公式

设向量 $\alpha$ 在旧基 I 下的坐标为 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$，在新基 II 下的坐标为 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n{)}^T$。

即：

$\alpha =({ϵ}_1,{ϵ}_2,\dots ,{ϵ}_n)\mathbf{x}=({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n)\mathbf{y}$

将 $({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)=({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n)P$ 代入上式，得：

$({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n)\mathbf{x}=({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n)P\mathbf{y}$

由于基向量线性无关，因此坐标是唯一的，所以：

$\mathbf{x}=P\mathbf{y}$

这就是坐标变换公式。

相应地，可以解出 $\mathbf{y}$：

$\mathbf{y}=P^{-1}\mathbf{x}$

记忆：

• 基变换：$(\text{新基矩阵})=(\text{旧基矩阵})P$
• 坐标变换：$\mathbf{x}=P\mathbf{y}(\text{旧坐标}=\text{过渡矩阵}\times \text{新坐标})$