抽象线性方程

解的判定

• 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$：
  • 总有解，至少有零解 $x=0$。
  • 当 $r(A)=n$ (列满秩) 时，有唯一零解。
  • 当 $r(A)<n$ 时，有无穷多解 (必有非零解)。
• 非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b,(b\ne 0)$：
  • 无解的充要条件是 $r(A)\ne r(\bar{A})$，其中 $\bar{A}=(A|b)$ 是增广矩阵。
  • 有唯一解的充要条件是 $r(A)=r(\bar{A})=n$。
  • 有无穷多解的充要条件是 $r(A)=r(\bar{A})<n$。
• 齐次与非齐次解的关系
  • 若 $Ax=b$ 有唯一解，则 $r(A)=n$，所以其对应的齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解。
  • 若 $Ax=b$ 有无穷多解，则 $r(A)<n$，所以其对应的齐次方程组 $Ax=0$ 有无穷多解。
  • 结论：已知非齐次方程组的解的情况可以唯一确定对应齐次方程组解的情况；反之则不能。
  • 重要推论：若矩阵 $A$ 行满秩，即 $r(A)=m$，则 $Ax=b$ 必有解。因为增广矩阵 $\bar{A}$ 的行数仍为 $m$，其秩不可能超过 $m$，故必有 $r(\bar{A})=r(A)=m$。

解的性质

• 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的通解可以表示为其任意一个特解 ${\eta }^{\ast }$ 与其对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的通解 ${\xi }_h$ 之和。 $x={\xi }_h+{\eta }^{\ast }$
• 其中 ${\xi }_h=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$，而 ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的一个基础解系。

例题

[问答题]

已知 $r(A_{4\times 4})=2$，${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 为方程组 $Ax=b$ 的三个解向量，且满足

$\{\begin{array}{l}{\eta }_1-{\eta }_2=(-1,0,3,-4{)}^T\\ {\eta }_1+{\eta }_2=(3,2,1,-2{)}^T\\ {\eta }_3+2{\eta }_2=(5,1,0,3{)}^T\end{array}$

求 $Ax=b$ 的通解。

[答案]

解：

1. 确定基础解系向量个数 对应的齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系所含向量的个数为 $s=n-r(A)=4-2=2$。因此，我们需要找到两个线性无关的解 ${\xi }_1,{\xi }_2$。

2. 求基础解系 因为 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 都是 $Ax=b$ 的解，即 $A{\eta }_1=b,A{\eta }_2=b$，所以它们的差是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的解。 $A({\eta }_1-{\eta }_2)=A{\eta }_1-A{\eta }_2=b-b=0$ 可取第一个基础解系向量为： ${\xi }_1={\eta }_1-{\eta }_2=(-1,0,3,-4{)}^T$ 为求得第二个解，我们需要构造 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 的另一个线性组合，使其被 $A$ 作用后结果为 $0$。由已知条件： $A({\eta }_1+{\eta }_2)=A{\eta }_1+A{\eta }_2=b+b=2b$$A({\eta }_3+2{\eta }_2)=A{\eta }_3+2A{\eta }_2=b+2b=3b$ 为了消去常数向量 $b$，将上两式线性组合： $3A({\eta }_1+{\eta }_2)-2A({\eta }_3+2{\eta }_2)=3(2b)-2(3b)=0$ 根据矩阵乘法的线性性质，有： $A(3({\eta }_1+{\eta }_2)-2({\eta }_3+2{\eta }_2))=0$ 因此， $3({\eta }_1+{\eta }_2)-2({\eta }_3+2{\eta }_2)$ 是 $Ax=0$ 的一个解。取其为第二个基础解系向量： ${\xi }_2=3({\eta }_1+{\eta }_2)-2({\eta }_3+2{\eta }_2)=3(3,2,1,-2{)}^T-2(5,1,0,3{)}^T$${\xi }_2=(9,6,3,-6{)}^T-(10,2,0,6{)}^T=(-1,4,3,-12{)}^T$ 向量 ${\xi }_1$ 与 ${\xi }_2$ 不成比例，故线性无关，可以作为基础解系。

3. 求一个特解 我们需要一个向量 ${\eta }^{\ast }$ 使得 $A{\eta }^{\ast }=b$。已知 $A({\eta }_1+{\eta }_2)=2b$，两边同乘以 $\frac{1}{2}$ 得： $A\left(\frac{1}{2}({\eta }_1+{\eta }_2)\right)=b$ 所以，可以取特解为： ${\eta }^{\ast }=\frac{1}{2}({\eta }_1+{\eta }_2)=\frac{1}{2}(3,2,1,-2{)}^T=(\frac{3}{2},1,\frac{1}{2},-1{)}^T$

4. 写出通解 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的通解为 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+{\eta }^{\ast }$，其中 $k_1,k_2$ 为任意常数。 $x=k_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 3\\ -4\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\\ -12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3/2\\ 1\\ 1/2\\ -1\end{array}\right),(k_1,k_2\in \mathbb{R})$

基础解系

• 对于齐次线性方程组 $Ax=0$，若系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=r<n$（$n$ 为未知数个数），则其解空间是一个维数为 $n-r$ 的向量空间。
• 这个解空间的任意一组基称为该方程组的一个基础解系。
• 基础解系由 $s=n-r$ 个线性无关的解向量构成。

例题

[选择题]

1. 设 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 是方程组 $Ax=0$ 的基础解系，则下列向量组也是方程组 $Ax=0$ 的基础解系的是 ()

• A. ${\xi }_1-{\xi }_2,{\xi }_2-{\xi }_3,{\xi }_3-{\xi }_1$
• B. ${\xi }_1+{\xi }_2,{\xi }_2-{\xi }_3,{\xi }_3+{\xi }_1$
• C. ${\xi }_1+{\xi }_2-{\xi }_3,{\xi }_1+2{\xi }_2+{\xi }_3,2{\xi }_1+3{\xi }_2$
• D. ${\xi }_1+{\xi }_2,{\xi }_2+{\xi }_3,{\xi }_3+{\xi }_1$

[答案]

解：需要判断基础解系是否线性无关，需要对应的行列式值非 $0$。

对于 D: $({\xi }_1+{\xi }_2,{\xi }_2+{\xi }_3,{\xi }_3+{\xi }_1)=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

由于 $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1(1-0)-0+1(1-0)=1+1=2\ne 0$，所以 D 线性无关，从而为基础解系。

[选择题]

2. 设 ${\xi }_1=[1,-2,3,1{]}^T,{\xi }_2=[2,0,5,-2{]}^T$ 是齐次线性方程组 $A_{3\times 4}x=0$ 的解，且 $r(A)=2$，则下列向量中是其解向量的是 ()

• A. ${\alpha }_1=[1,-2,3,2{]}^T$
• B. ${\alpha }_2=[0,0.5,-2{]}^T$
• C. ${\alpha }_3=[-1,-6,-1,7{]}^T$
• D. ${\alpha }_4=[1,6,1,6{]}^T$

[答案]

解：若 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 为 $Ax=0$ 的基，所以 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 应该能表示其解向量。

所以将 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 分别联立为矩阵，进行初等行变换，查看是否有解，即新增广矩阵 $[{\xi }_1,{\xi }_2|{\alpha }_i]$ 必须秩为 $2$。

$ABD$ 选项增广矩阵的秩都为 $3$，所以不能表示，而只有 $C$ 的为 $2$，所以 $C$ 可以表示。

系数矩阵列向量与解

设系数矩阵 $A$ 按列分块为 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$，解向量为 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$。

• 齐次方程 $Ax=0$ 可写作： $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$ 它的解 $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ 实质上是描述矩阵 $A$ 列向量组线性相关性的系数向量。

• 非齐次方程 $Ax=b$ 可写作： $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=b$ 它的解 $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ 实质上是向量 $b$ 由矩阵 $A$ 的列向量组线性表示的系数向量。

例题

[问答题]

1. 已知 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]$，其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 是四维列向量，且 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2+{\alpha }_3,r(A)=3$，若 $\beta ={\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3+4{\alpha }_4$，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解

[答案]

解：$\because {\alpha }_1=2{\alpha }_2+{\alpha }_3$，移项得 $1{\alpha }_1-2{\alpha }_2-1{\alpha }_3+0{\alpha }_4=0$，即 $A(1,-2,-1,0{)}^T=0$。

又 $r(A_{4\times 4})=3$ ，

$s=n-r(A)=4-3=1$，$\therefore$ 齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系由一个向量构成，即 $\xi =(1,-2,-1,0{)}^T$。

对于非齐次方程组 $Ax=\beta$，将 $\beta ={\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3+4{\alpha }_4$ 代入，可知特解为 $\beta$ 的系数：$(1,2,3,4{)}^T$。

所以通解为 $k(1,-2,-1,0{)}^T+(1,2,3,4{)}^T$。