线性方程组与矩阵

基本概念

对于一个含有 $m$ 个方程、 $n$ 个未知数的线性方程组：

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \dots a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}

可以表示为矩阵形式 $A x = b$ ，其中：

系数矩阵 $A$ ：由方程组左端未知数的系数构成的矩阵。 $A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn}_{m \times n}$
未知数矩阵 $x$ ：由未知数构成的列向量。 $x = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}_{n \times 1}$
常数项矩阵 $b$ ：由方程组右端的常数项构成的列向量。 $b = b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}_{m \times 1}$
增广矩阵 $\overset{ˉ}{A}$ (或 $(A ∣ b)$ )：在系数矩阵 $A$ 的右侧添加常数项列 $b$ 得到的矩阵。 $\overset{ˉ}{A} = (A ∣ b) = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}_{m \times (n + 1)}$

线性方程组 $A x = b$ 可以被理解为一个线性变换。矩阵 $A$ 将 $n$ 维空间中的向量 $x$ 映射（或变换）到 $m$ 维空间中的向量 $b$ 。求解线性方程组的过程，就是寻找一个或多个向量 $x$ ，使得它经过矩阵 $A$ 的线性变换后，得到目标向量 $b$ 。

对于一个由 $m$ 个方程和 $n$ 个未知数组成的线性方程组 $A x = b$ ，其解的情况由系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\overset{ˉ}{A}$ 的秩决定。设 $r (A)$ 为系数矩阵的秩， $r (\overset{ˉ}{A})$ 为增广矩阵的秩。

对于线性方程组：

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \dots a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}

其解有多种等价的矩阵表示方法：

矩阵乘积表示：这是最常见的表示方法，即 $A_{m \times n} x_{n \times 1} = b_{m \times 1}$ 。
$a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}$
向量线性组合表示：将系数矩阵 $A$ 按列分块为 $n$ 个列向量 $A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ ，其中 $α_{j} = a_{1 j} a_{2 j} ⋮ a_{mj}$ 。则线性方程组可以表示为常数项向量 $b$ 是系数矩阵 $A$ 的列向量组的一个线性组合：
$x_{1} a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} + x_{2} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} + \dots + x_{n} a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} = b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}$
即 $x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} = b$ 。

因此，方程组 $A x = b$ 有解的充分必要条件是向量 $b$ 可以由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性表示。**