矩阵的秩

定义

矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $r(A)$ 或 $\text{rank}(A)$。

具体来说，如果矩阵 $A_{m\times n}$ 存在一个 $r$ 阶子式不为零，并且任意 $r+1$ 阶子式（如果存在）都为零，那么称矩阵 $A$ 的秩为 $r$，记为 $r(A)=r$。

规定：零矩阵的秩为 $0$。

从向量组的角度看，矩阵的秩可以定义为：

• 行秩：矩阵 $A$ 的行向量组的秩，即行向量组中极大线性无关组所含向量的个数。
• 列秩：矩阵 $A$ 的列向量组的秩，即列向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

矩阵的行秩恒等于其列秩，统称为矩阵的秩。

性质

设矩阵 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。

1. 基本性质：$0\le r(A)\le \min \{m,n\}$。
2. 转置：$r(A)=r(A^T)=r(A^{T}A)=r(A{A}^T)$
3. 数乘：若 $k\ne 0$，则 $r(kA)=r(A)$。
4. 和的秩 (秩不等式)： $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
5. 积的秩 (西尔维斯特 Sylvester 不等式)： $r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}$
6. 另一个积的秩不等式 (弗罗贝尼乌斯 Frobenius 不等式)：设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵, $B$ 为 $n\times p$ 矩阵，则： $r(A)+r(B)-n\le r(AB)$
7. 可逆矩阵：若 $P$ 为 $m$ 阶可逆矩阵，$Q$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则： $r(PAQ)=r(A)$ $r(PA)=r(A)$ $r(AQ)=r(A)$ 这个性质表明，用可逆矩阵去乘一个矩阵，不改变它的秩。这正是矩阵初等行 (列) 变换不改变矩阵秩的理论基础。
8. 分块矩阵： $r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)$ $r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B)$
9. 伴随矩阵：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $A^{\ast }$ 为其伴随矩阵。
   • 若 $r(A)=n$，则 $|A|\ne 0$, $A^{\ast }$ 可逆，所以 $r(A^{\ast })=n$。
   • 若 $r(A)=n-1$，则 $|A|=0$, 但 $A$ 中至少有一个 $n-1$ 阶子式不为 0, 所以 $A^{\ast }$ 不为零矩阵。又因为 $A{A}^{\ast }=|A|E=O$，有 $r(A)+r(A^{\ast })\le n$，即 $n-1+r(A^{\ast })\le n$，得出 $r(A^{\ast })\le 1$。因此 $r(A^{\ast })=1$。
   • 若 $r(A)<n-1$，则 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式均为 $0$，即 $A^{\ast }$ 的所有元素均为 $0$。因此 $r(A^{\ast })=0$。 总结为： $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$

操作	秩的变化规律	准确描述
矩阵相乘 (AB)	秩小于或等于相乘前矩阵的最小秩	秩不增加 ($\mathrm{rank}(AB)\le \min (\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B))$)
矩阵增广 (A,b)	秩大于或等于原矩阵的秩	秩不减小 ($\mathrm{rank}(A)\le \mathrm{rank}(A,b)$)

子式

在 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行和 $k$ 列（$1\le k\le \min \{m,n\}$），位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，按其原来的相对位置所构成的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。

例如，对于矩阵 $A$：

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right)$

取第 $1,3$ 行和第 $2,4$ 列，所构成的 $2$ 阶子式 为：

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{14}\\ a_{32}& a_{34}\end{array}\right|$

取第 $1,2,3$ 行和第 $1,2,3$ 列，所构成的 $3$ 阶子式 为：

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

矩阵 $A$ 的所有不为零的子式中，阶数最高的子式称为 最高阶非零子式。矩阵的秩就是其最高阶非零子式的阶数。