矩阵初等变换

初等变换

矩阵的初等变换是指以下三种变换，分为行初等变换和列初等变换。

1. 交换 (倍加)：交换矩阵的两行（或两列），记作 $r_i\leftrightarrow r_j$（或 $c_i\leftrightarrow c_j$）。
2. 倍乘 (数乘)：以一个非零数 $k$ 乘矩阵的某一行（或某一列），记作 $k{r}_i$（或 $k{c}_i$）。
3. 消元 (对换)：将某一行（或某一列）的 $k$ 倍加到另一行（或另一列）上，记作 $r_j+k{r}_i$（或 $c_j+k{c}_i$）。

这三种变换统称为矩阵的初等变换。

阶梯型矩阵

通过行初等变换将矩阵化为阶梯型矩阵是线性代数中的重要步骤。

行阶梯型矩阵

一个矩阵若满足以下两个条件，则称为行阶梯型矩阵：

1. 若有零行（即元素全为零的行），则零行应在矩阵的最下方。
2. 对于非零行，其主元（即该行最左边的第一个非零元）所在的列号，随着行号的增大而严格增大。

例如，以下是行阶梯型矩阵（主元已加粗）： $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 6& 7\\ 0& 0& 0& 8\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 3& 1\\ 0& 0& 4& 5\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ 矩阵 $A$ 的主元是 $1,5,8$。矩阵 $B$ 的主元是 $2,4$，并且其零行在最下方。

行最简形矩阵

一个行阶梯型矩阵若还满足以下两个条件，则称为行最简形矩阵：

1. 每个非零行的主元都为 $1$。
2. 每个主元所在的列的其他元素都为 $0$。

例如，以下是行最简形矩阵（主元已加粗）： $C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 5& 0\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ 矩阵 $C$ 和 $D$ 不仅是行阶梯型矩阵，而且它们的主元都为 $1$，且主元所在的列的其他元素都为 $0$。

核心结论：任何矩阵 $A$ 都可以通过有限次行初等变换化为阶梯型矩阵和行最简形矩阵。

初等变换的性质

矩阵等价

如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换得到矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$。矩阵等价关系具有以下性质：

1. 反身性：$A\sim A$
2. 对称性：若 $A\sim B$，则 $B\sim A$
3. 传递性：若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$

初等变换与矩阵的秩

核心性质：初等变换不改变矩阵的秩。 即，若 $A\sim B$，则 $r(A)=r(B)$。

初等变换与行列式 (仅对方阵)

设矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，经过一次初等变换得到矩阵 $B$。

1. 交换两行（或列），行列式变号。 $r_i\leftrightarrow r_j⟹|B|=-|A|$
2. 倍乘某一行（或列）乘以非零数 $k$，行列式乘以 $k$。 $r_i\to k{r}_i⟹|B|=k|A|$
3. 倍加某一行（或列）的 $k$ 倍加到另一行（或列）上，行列式不变。 $r_j\to r_j+k{r}_i⟹|B|=|A|$

初等矩阵与初等变换的重要结论

1. 任意一个可逆矩阵都可以表示为若干个初等矩阵的乘积。
2. 任意一个可逆矩阵都可以通过初等行 (列) 变换得到单位矩阵。
3. 单位矩阵可以通过初等行 (列) 变换得到任意一个可逆矩阵。
4. 设 $A,B$ 为同阶可逆矩阵，则 $A$ 可以通过初等行 (列) 变换得到 $B$。
5. 任意一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 可以通过初等变换变成如下等价标准形： $\left[\begin{array}{cc}{E}_s& O\\ O& O\end{array}\right]$ 其中 $s=r(A)$。
6. 任意一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $P,Q$，使得 $PAQ=\left[\begin{array}{cc}{E}_s& O\\ O& O\end{array}\right]$ 其中 $s=r(A)$。
7. 任意一个 $m\times n$ 的行满秩矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $Q$，使得 $AQ=[E_{m}O]$
   • 对于行满秩矩阵，其行向量组线性无关，通过初等列变换（右乘 $Q$）可以将其化为标准形。
8. 任意一个 $m\times n$ 的列满秩矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $P$，使得 $PA=\left[\begin{array}{c}{E}_n\\ O\end{array}\right]$
   • 对于列满秩矩阵，其列向量组线性无关，通过初等行变换（左乘 $P$）可以将其化为标准形。

应用

用于求解线性方程组

对于非齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\beta$，其核心解法是利用初等行变换对增广矩阵 $[A⋮\beta ]$ 进行变换。

对增广矩阵施加一系列初等行变换，等价于用一个可逆矩阵 $P$ 左乘该矩阵。变换过程不改变方程组的解。

$[A⋮\beta ]\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }[PA⋮P\beta ]$

通过这种方式，可以将原方程组化为更易求解的阶梯形或行最简形方程组。

求解矩阵方程 AX = B

当矩阵方程为 $AX=B$ 且 $A$ 可逆时，其理论解为 $X=A^{-1}B$。

我们可以利用初等行变换来求解 $X$，这种方法本质上是在求 $A^{-1}$ 的同时，完成了与 $B$ 的乘法。

方法：

1. 构造增广矩阵 $[A⋮B]$。
2. 对整个矩阵施加初等行变换，目标是将左侧的矩阵 $A$ 化为单位矩阵 $E$。
3. 当左侧变为 $E$ 时，右侧的矩阵就自动变成了 $A^{-1}B$，即我们所求的解 $X$。

原理： 对 $[A⋮B]$ 进行初等行变换，相当于左乘一个矩阵 $P$。我们的目标是找到一个 $P$ 使得 $PA=E$，这意味着 $P=A^{-1}$。此时，右侧的矩阵 $B$ 经过同样的变换后变为 $PB=A^{-1}B$。 $[A⋮B]\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }[E⋮A^{-1}B]$

求解矩阵方程 XA = B

当矩阵方程为 $XA=B$ 且 $A$ 可逆时，其理论解为 $X=B{A}^{-1}$。

方法：

1. 构造一个上下结构的分块矩阵 $\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]$。
2. 对整个矩阵施加初等列变换，目标是将上侧的矩阵 $A$ 化为单位矩阵 $E$。
3. 当上侧变为 $E$ 时，下侧的矩阵就自动变成了 $B{A}^{-1}$，即我们所求的解 $X$。

原理： 对 $\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]$ 进行初等列变换，相当于右乘一个矩阵 $Q$。我们的目标是找到一个 $Q$ 使得 $AQ=E$，这意味着 $Q=A^{-1}$。此时，下侧的矩阵 $B$ 经过同样的变换后变为 $BQ=B{A}^{-1}$。 $\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]\stackrel{\text{初等列变换}}{\to }\left[\begin{array}{c}E\\ B{A}^{-1}\end{array}\right]$

替代方法： 可以将原方程两边同时转置，得到 $(XA{)}^T=B^T$，即 $A^T{X}^T=B^T$。这个问题就转化为了求解形如 $AY=C$ 的方程，可以使用行变换求解出 $X^T$，最后再转置回来得到 $X$。

求解矩阵方程 P⁻¹AP = B (求 A)

这类问题常见于相似矩阵的计算，目标是求解矩阵 $A$。

1. 方程变形： 将原方程 $P^{-1}AP=B$ 变形为 $AP=PB$。
2. 方法构造： 该方程可以看作 $AX=Y$ 的形式，其中 $X=P,Y=PB$。我们可以借鉴求解 $XA=B$ 的思想，使用列变换来求解 $A$。
3. 计算步骤：
   • 首先计算矩阵乘积 $PB$。
   • 构造分块矩阵 $\left[\begin{array}{c}P\\ PB\end{array}\right]$。
   • 对该矩阵进行初等列变换，将上侧的矩阵 $P$ 化为单位矩阵 $E$。
   • 当上侧变为 $E$ 时，下侧的矩阵即为所求的 $A$。

原理： 将矩阵 $P$ 通过初等列变换化为 $E$，相当于给整个分块矩阵右乘了一个矩阵 $P^{-1}$。

$$\left[\begin{array}{c}P\\ PB\end{array}\right]\stackrel{\text{右乘}{P}^{-1}}{\to }\left[\begin{array}{c}P{P}^{-1}\\ (PB)P^{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}E\\ PB{P}^{-1}\end{array}\right]$$

根据变形后的方程 $AP=PB$，两边右乘 $P^{-1}$ 可得 $A=PB{P}^{-1}$。因此，下方的矩阵 $PB{P}^{-1}$ 正是我们要求的 $A$。

$\left[\begin{array}{c}P\\ PB\end{array}\right]\stackrel{\text{初等列变换}}{\to }\left[\begin{array}{c}E\\ A\end{array}\right]$

广义初等变换

定义与分类

广义初等变换是作用于分块矩阵的行 (或列) 的变换，其本质是将矩阵的子块（而不是单个元素）作为操作的基本单位。设矩阵 $A$ 按行分块为 $A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ ⋮\\ A_s\end{array}\right)$，其中 $A_i$ 是矩阵的第 $i$ 个行块。

广义初等行变换分为以下三种类型：

1. 交换变换：交换矩阵的第 $i$ 个行块和第 $j$ 个行块，记作 $r_i\leftrightarrow r_j$。
2. 数乘变换：用一个可逆矩阵$K$ 左乘第 $i$ 个行块，记作 $r_i\to K{r}_i$。
3. 倍加变换：将第 $j$ 个行块左乘一个矩阵 $K$ 后加到第 $i$ 个行块上，记作 $r_i\to r_i+K{r}_j$。矩阵 $K$ 的列数必须等于行块 $A_j$ 的行数。

同理，可以定义广义初等列变换。

广义初等矩阵

任何广义初等行变换都等价于用一个相应的广义初等矩阵左乘原矩阵。所有广义初等矩阵都是可逆矩阵。

以下以一个二阶分块矩阵为例：

1. 交换变换 $r_1\leftrightarrow r_2$ 对应的广义初等矩阵为 $E(1,2)=\left(\begin{array}{cc}O& I\\ I& O\end{array}\right)$。
2. 数乘变换 $r_1\to K{r}_1$ (其中 $K$ 可逆) 对应的广义初等矩阵为 $E(1(K))=\left(\begin{array}{cc}K& O\\ O& I\end{array}\right)$。进行此变换后，行列式的值变为原值的 $|K|$ 倍。
3. 倍加变换 $r_2\to r_2+K{r}_1$ 对应的广义初等矩阵为 $E(2,1(K))=\left(\begin{array}{cc}I& O\\ K& I\end{array}\right)$。由于 $|E(2,1(K))|=1$，此变换不改变矩阵行列式的值。

在计算行列式中的应用

广义初等变换的主要应用是计算分块矩阵的行列式，其核心思路是利用广义初等变换将原矩阵化为分块上 (下) 三角矩阵，然后利用其性质求解。

核心性质：对于分块三角矩阵，其行列式等于对角线上子块行列式的乘积。 $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& D\end{array}\right|=|A||D|$ 其中 $A,D$ 必须是方阵。

设分块矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$，其中 $A,D$ 为方阵。

情况一：$A$ 可逆

对 $M$ 施加广义初等行变换 $r_2\to r_2-C{A}^{-1}{r}_1$：

$\left(\begin{array}{cc}I& O\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right)$

因为变换矩阵的行列式为 $1$，所以原行列式不变。

$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|A||D-C{A}^{-1}B|$

情况二：$D$ 可逆

对 $M$ 施加广义初等行变换 $r_1\to r_1-B{D}^{-1}{r}_2$：

$\left(\begin{array}{cc}I& -B{D}^{-1}\\ O& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& O\\ C& D\end{array}\right)$

因为变换矩阵的行列式为 $1$，所以原行列式不变。

$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|D||A-B{D}^{-1}C|$

重要推论与特殊情况

1. 拉普拉斯公式的推广（主对角线形式） $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right|=|A||D|$ $\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& D\end{array}\right|=|A||D|$

2. 拉普拉斯公式的推广（副对角线形式） 设 $A,B$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵，则： $\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\left|\begin{array}{cc}B& C\\ O& A\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|B||A|$ $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\left|\begin{array}{cc}C& O\\ A& B\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|C||B|$ 记忆技巧：将分块矩阵通过行交换变换为主对角线形式，行列式乘以因子 $(-1{)}^{mn}$，其中 $m,n$ 是交换的两个行块的行数。

3. 乘法可交换的特殊情况 设 $A,B,C,D$ 均为 $n$ 阶方阵。

   • 若 $AC=CA$，则 $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|AD-CB|$。
   • 若 $CD=DC$，则 $\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|AD-BC|$。

   注意：使用此公式必须严格验证乘法可交换的条件。一般情况下 $|AD-CB|\ne |AD-BC|$。

例题

[选择题]

1. 设 A,B 均为 n 阶实对称矩阵,则下列结论不成立的是？

• A. $r(A,AB)=r(A)$
• B. $r(A{B}^T,A{B}^{T}B)=r(A{B}^T)$
• C. $r\left(\begin{array}{c}{A}^{T}A\\ B^{T}A\end{array}\right)=r(A)$
• D. $r\left(\begin{array}{c}BA\\ B^{T}BA\end{array}\right)=r(A{B}^T)$

[答案]

答案：本题中所有选项的结论均为真。

解释： 设 $A,B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，即 $A=A^T$ 且 $B=B^T$。

• 选项 A: $r(A,AB)=r(A)$$(A,AB)\stackrel{c_2\to c_2-c_{1}B}{\to }(A,AB-AB)=(A,O)$ 初等变换不改变矩阵的秩，因此： $r(A,AB)=r(A,O)=r(A)$ 所以选项 (A) 结论成立。

• 选项 B: $r(A{B}^T,A{B}^{T}B)=r(A{B}^T)$$(A{B}^T,A{B}^{T}B)\stackrel{c_2\to c_2-c_{1}B}{\to }(A{B}^T,A{B}^{T}B-A{B}^{T}B)=(A{B}^T,O)$ 初等变换不改变矩阵的秩，因此： $r(A{B}^T,A{B}^{T}B)=r(A{B}^T,O)=r(A{B}^T)$ 所以选项 (B) 结论成立。

• 选项 C: $r\left(\begin{array}{c}{A}^{T}A\\ B^{T}A\end{array}\right)=r(A)$ 考察矩阵 $\left(\begin{array}{c}{A}^{T}A\\ B^{T}A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right)A=MA$. 有 $r(MA)<r(A)=n$ 又有 $n=r(A)=r(A^{T}A)\le r(MA)$ 故 $r(MA)=n=r(A)$ 此结论成立。

• 选项 D: $r\left(\begin{array}{c}BA\\ B^{T}BA\end{array}\right)=r(A{B}^T)$ 首先，我们简化左侧的表达式。令 $X=BA$。则左侧为 $r\left(\begin{array}{c}X\\ B^{T}X\end{array}\right)$。 $\left(\begin{array}{c}X\\ B^{T}X\end{array}\right)\stackrel{R_2\to R_2-B^T{R}_1}{\to }\left(\begin{array}{c}X\\ 0\end{array}\right)$。 因此，$r\left(\begin{array}{c}BA\\ B^{T}BA\end{array}\right)=r(BA)$。 接下来，我们简化右侧的表达式。由于 $B$ 是实对称矩阵，所以 $B^T=B$。 因此，$r(A{B}^T)=r(AB)$。 所以，选项 D 的结论等价于 $r(BA)=r(AB)$。 对于任意两个 $n$ 阶实对称矩阵 $A,B$，我们有： $r(AB)=r((AB{)}^T)$ (矩阵的秩等于其转置的秩) $r((AB{)}^T)=r(B^T{A}^T)$ (矩阵乘积的转置) 由于 $A,B$ 是对称矩阵，所以 $A^T=A$ 且 $B^T=B$。 因此，$r(B^T{A}^T)=r(BA)$。 综上所述，$r(AB)=r(BA)$。此结论成立。

：经过详细分析，选项 A、B、C、D 的结论在给定条件下（A, B 均为 n 阶实对称矩阵）都是成立的。

[选择题]

2. 设 $A=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m),B=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m)$，若 A,B 的列向量组等价，则下列结论正确的是？

• 1. $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解
• 2. $r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& A\end{array}\right)=2r(A)$
• 3. $A^{T}x=0$ 和 $B^{T}x=0$ 同解
• 4. $r\left(\begin{array}{cc}A& B^T\\ O& A\end{array}\right)=2r(A)$

[答案]

答案：2) 3)

解释：

• 选项 1: $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解。 这个结论等价于矩阵 A 和 B 行等价，即它们的行向量组等价 ($R(A)=R(B)$)。题设条件是列向量组等价，这与行向量组等价是两个不同的概念。因此，选项 1 不一定成立。

• 选项 3: $A^{T}x=0$ 和 $B^{T}x=0$ 同解。 矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价即矩阵 $A^T$ 和 $B^T$ 列等价，此结论正确。

• 选项 2: $r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& A\end{array}\right)=2r(A)$。 由 $C(A)=C(B)$ 可知，$B$ 的列向量可以由 $A$ 的列向量线性表示，即存在矩阵 $K$ 使得 $B=AK$。 对分块矩阵进行初等变换（右乘一个可逆矩阵）不改变其秩： $r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& A\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}A& AK\\ O& A\end{array}\right)=r\left(\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& K\\ O& I\end{array}\right)\right)$ 因为 $\left(\begin{array}{cc}I& K\\ O& I\end{array}\right)$ 是可逆矩阵，所以 $r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& A\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A\end{array}\right)=r(A)+r(A)=2r(A)$ 此结论是正确的。

• 选项 4: $r\left(\begin{array}{cc}A& B^T\\ O& A\end{array}\right)=2r(A)$。 设 A, B 是 $n\times m$ 矩阵，则 $B^T$ 是 $m\times n$ 矩阵。分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}A& B^T\\ O& A\end{array}\right)$ 只有在 $n=m$ (即 A, B 为方阵) 时，其分块才是合法的。题设并未说明 A, B 是方阵，因此该选项不具有普适性。

：选项 2 和 3 都是由题设可以得出的正确结论。