秩一矩阵

性质

1. 若 $A$ 为秩一矩阵，则 $A^n=[tr(A){]}^{n-1}A$
2. $A$ 的所有特征值是 $tr(A),\underset{n-1\text{个}}{\underbrace{0,\cdots ,0}}$
3. 当 迹 $tr(A)=0$ 时，$A$ 不可对角化；当 $tr(A)\ne 0$ 时，$A$ 可以对角化。
4. $r(A)=1\iff A$ 可表示为 $\alpha {\beta }^T$，其中 $\alpha ,\beta$ 是 $n$ 维非零列向量。

$\alpha {\beta }^T$ 的性质

$\alpha {\beta }^T$ ，其中 $\alpha ,\beta$ 是 $n$ 维非零列向量：

1. $(\alpha {\beta }^T{)}^n=(\alpha ,\beta {)}^{n-1}\alpha {\beta }^T$ (注意 $tr(\alpha {\beta }^T)=(\alpha ,\beta )$，此处的 $(\alpha ,\beta )$ 指内积 ${\alpha }^T\beta$)
2. $\alpha {\beta }^T$ 的所有特征值是 $(\alpha ,\beta ),\underset{n-1\text{个}}{\underbrace{0,\cdots ,0}}$
3. $E+k\alpha {\beta }^T$ 的逆矩阵形如 $E+l\alpha {\beta }^T$ (如果逆矩阵存在，可以通过待定系数求逆)。

例题

[选择题]

1. 设向量 $\alpha =(a,0,a{)}^T,A=E-\alpha {\alpha }^T$, 若 $tr(A)=1$, 则 $A^{-1}=()$

• A. $E+\alpha {\alpha }^T$
• B. $E-\alpha {\alpha }^T$
• C. $E+2\alpha {\alpha }^T$
• D. $E-2\alpha {\alpha }^T$

[答案]

：B. tr(A)=1=tr(E)-tr(\alpha\alpha^T)，故 tr(\alpha\alpha^T) = 3-1 = 2. 令 E=(E-\alpha\alpha^T)(E+k\alpha\alpha^T)，化简得 E=E-(k+1)\alpha\alpha^T，故 k=-1，得 A^{-1} = E-\alpha\alpha^T