等价矩阵

定义

若矩阵 $B$ 可由矩阵 $A$ 经过一系列初等行变换和初等列变换得到，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$。

矩阵等价的充分必要条件是：对于两个同型矩阵 $A_{m\times n}$ 和 $B_{m\times n}$，存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得：

$B=PAQ$

其中，矩阵 $P$ 对应于一系列初等行变换，矩阵 $Q$ 对应于一系列初等列变换。

性质

矩阵的等价关系是一种等价关系，具有以下性质：

1. 反身性：$A\sim A$ (因为 $A=E_{m}A{E}_n$)
2. 对称性：若 $A\sim B$，则 $B\sim A$ (因为若 $B=PAQ$，则 $A=P^{-1}B{Q}^{-1}$)
3. 传递性：若 $A\sim B$ 且 $B\sim C$，则 $A\sim C$

判定

两个 同型矩阵 $A_{m\times n}$ 和 $B_{m\times n}$ 等价的充分必要条件是它们的秩相等。

$A\sim B⟺r(A)=r(B)$

核心思想：

任何一个秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵 $A$，都等价于一个唯一的标准形（或规范形）矩阵，记作 $F_r$。

$F_r={\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)}_{m\times n}$

其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，其余元素均为零矩阵 $O$。

因此，所有秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵都等价于同一个标准形 $F_r$。根据等价关系的传递性，它们彼此之间也相互等价。这意味着，要判断两个同型矩阵是否等价，只需要计算它们的秩是否相等即可。