等价向量组

两个向量组如果能够相互线性表示，则称它们是等价向量组。等价向量组的本质是它们张成了完全相同的向量空间。一个 向量组 和它的 极大线性无关组 是等价的，因此极大线性无关组可以被看作是原向量组的“骨架”或“代表”。

定义及性质

定义 设有两个向量组 $I:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 和 $II:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$。 如果向量组 $I$ 中的每个向量都能由向量组 $II$ 线性表出，同时向量组 $II$ 中的每个向量也都能由向量组 $I$ 线性表出，则称这两个向量组是等价向量组，记作 $I\cong II$。

性质

1. 自反性：任何向量组都与自身等价。
2. 对称性：若向量组 $I$ 与向量组 $II$ 等价，则向量组 $II$ 也与向量组 $I$ 等价。
3. 传递性：若向量组 $I$ 与 $II$ 等价，向量组 $II$ 与 $III$ 等价，则向量组 $I$ 与 $III$ 等价。
4. 秩相等：若两个向量组等价，则它们的秩必然相等。即若 $I\cong II$, 则 $r(I)=r(II)$。注意，秩相等是等价的必要条件，但非充分条件。
5. 与极大线性无关组的关系：任何一个向量组都与其任意一个极大线性无关组等价。

判定

设向量组 $I:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 和 $II:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$。

令矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)$, $B=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s)$，以及由两个向量组拼接而成的矩阵 $C=(A,B)=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_s)$。

向量组 $I$ 和向量组 $II$ 等价的充要条件是：

$r(A)=r(B)=r(A,B)$

理解：

• $r(A)=r(A,B)$ 意味着向量组 $B$ 中的所有向量都可以由向量组 $A$ 线性表出。因为添加 $B$ 的向量并未使秩增加。
• $r(B)=r(A,B)$ 意味着向量组 $A$ 中的所有向量都可以由向量组 $B$ 线性表出。因为添加 $A$ 的向量并未使秩增加。

这两个条件同时满足，即符合等价向量组的定义。

在实际计算中，通常只需要计算三个矩阵 $A,B,(A,B)$ 的秩并进行比较即可。

与等价矩阵区别

等价向量组与 等价矩阵 是两个完全不同的概念，极易混淆。

概念	等价向量组 (Equivalent Vector Groups)	等价矩阵 (Equivalent Matrices)
研究对象	两个或多个列（或行）向量构成的集合	两个同型矩阵
核心思想	两个向量组能否相互线性表出，即它们是否张成同一个向量子空间	一个矩阵能否通过初等变换（行变换和列变换）得到另一个矩阵
判定条件	$r(A)=r(B)=r(A,B)$	$A,B$ 为同型矩阵，且 $r(A)=r(B)$
关系	向量组等价 $⟹$ 秩相等 $⟹$ 矩阵等价	矩阵等价 $/⟹$ 向量组等价

示例： 设向量组 $I:{\alpha }_1=(1,0{)}^T,{\alpha }_2=(0,1{)}^T$。 向量组 $II:{\beta }_1=(1,1{)}^T,{\beta }_2=(1,-1{)}^T$。 两个向量组张成的都是整个二维空间 $R^2$，因此它们是等价向量组。 对应的矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 和 $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ 都是满秩的， $r(A)=r(B)=2$，因此它们是等价矩阵。

反例： 设向量组 $I:{\alpha }_1=(1,0,0{)}^T,{\alpha }_2=(0,1,0{)}^T$。 向量组 $II:{\beta }_1=(1,0,0{)}^T,{\beta }_2=(0,0,1{)}^T$。 令矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2)$, $B=({\beta }_1,{\beta }_2)$。

• 矩阵等价：$r(A)=2$, $r(B)=2$，且它们都是 $3\times 2$ 矩阵，故 $A,B$ 是等价矩阵。
• 向量组等价？
  • 考虑矩阵 $(A,B)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$。显然 $r(A,B)=3$。 因为 $r(A)=2\ne r(A,B)=3$，所以向量组 $I$ 和 $II$ 不等价。 从几何上看，向量组 $I$ 张成的是 xy- 平面，而向量组 $II$ 张成的是 xz- 平面，它们是不同的子空间。