线性相关性

线性相关性判定

向量组的线性相关性是线性代数中的核心概念，其判定方法和相关定理是考研的重点。

判定方法一：定义/方程法 设矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)$，向量 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_m{)}^T$。

• 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ 线性相关的充要条件是，齐次线性方程组 $Ax=0$ $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_m{\alpha }_m=0$ 存在非零解。
• 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关的充要条件是，上述齐次线性方程组只有零解。

判定方法二：秩法 设矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)$，其中 $m$ 是向量的个数。

• 向量组线性相关 $⟺r(A)<m$。
• 向量组线性无关 $⟺r(A)=m$。
• 特别地，当向量个数 $m$ 等于向量维数 $n$ 时， $A$ 为方阵。此时：
  • 向量组线性相关 $⟺|A|=0$。
  • 向量组线性无关 $⟺|A|\ne 0$。

重要定理与推论

1. 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ ($m\ge 2$) 线性相关的充要条件是，该向量组中至少有一个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。
2. 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关的充要条件是，该向量组中任何一个向量都不能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。
3. 如果向量组 $A:{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 能由向量组 $B:{\beta }_1,\dots ,{\beta }_t$ 线性表出，且 $s>t$，则向量组 $A$ 线性相关。(习惯上称为“以少表多，多的相关”)
4. 若向量组 $A$ 线性无关，且可由向量组 $B$ 线性表出, 则 $A$ 的向量个数不多于 $B$ 的向量个数。
5. 若一个向量组的某个部分组（子组）线性相关，则整个向量组也线性相关。
6. 反之，若整个向量组线性无关，则它的任何部分组（子组）都线性无关。
7. $m$ 个 $n$ 维向量，如果向量个数 $m$ 大于向量维数 $n$ ($m>n$)，则该向量组必线性相关（未知数的个数多于方程的个数）。
8. 设 $m$ 个 $n$ 维向量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关，则把这些向量各任意添加 $s$ 个分量得到的新向量组（$n+s$ 维）也线性无关。( 无关延长仍无关 )
   1. 如果一个齐次线性方程组只有零解（对应向量组线性无关），那么在其后面增加更多的方程（对应增加向量分量），这些增加的方程也必须被零解满足。由于零解总是满足任何齐次方程，所以增加方程不会引入非零解。
9. 设 $m$ 个 $n$ 维向量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性相关，则把这些向量各任意减少 $s$ 个分量得到的新向量组（$n-s$ 维）也线性相关。( 相关缩短仍相关 )
   1. 如果一个齐次线性方程组有非零解（对应向量组线性相关），那么这意味着存在一组不全为零的未知数 $k_i$ 能够让所有的方程都成立。当我们减少方程的个数（对应减少向量分量）时，这组不全为零的 $k_i$ 仍然能让剩余的方程都成立。

极大线性无关组

定义 设向量组 $A$ 中有一个部分组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_r}$，如果满足：

1. 该部分组自身是线性无关的。
2. 从向量组 $A$ 中任取一个不在该部分组的向量 ${\alpha }_j$，添加入该部分组后，得到的新向量组 $({\alpha }_{i_1},\dots ,{\alpha }_{i_r},{\alpha }_j)$ 一定是线性相关的。

则称向量组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_r}$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组（或最大无关组）。

核心定理与性质

1. 一个向量组的极大线性无关组可能不唯一，但它所含向量的个数是唯一确定的。
2. 向量组的秩：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，称为该向量组的秩，记为 $r(\text{向量组})$。
3. 向量组的秩 $r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$ 等于以这些向量为列向量所构成的矩阵 $A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$ 的秩，即 $r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)=r(A)$。
4. 重要结论：若向量组 $A$ 的秩为 $r$，则向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量都线性相关。
5. 等价向量组：若两个向量组可以相互线性表出，则称它们是等价向量组。等价向量组有相同的秩。
6. 原向量组中的任何一个向量，都可以由其极大线性无关组进行唯一的线性表出。
   • 推论：若向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性无关，而向量组 $\beta ,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性相关，则向量 $\beta$ 必可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 唯一线性表出。