克拉默法则

克拉默法则（Cramer’s Rule）是利用行列式来求解含有 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组的唯一解的一种方法。它更多地作为一种理论工具，在处理带有参数的方程组解的讨论时尤为重要。

法则内容

对于一个包含 $n$ 个方程和 $n$ 个未知数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的线性方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮⋮⋮⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

记其系数矩阵为 $A$，常数项向量为 $\mathbf{b}$，即 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

1. 系数行列式 $D$：由方程组左侧所有未知数的系数构成的行列式。 $D=|A|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$
2. 分子行列式 $D_j$：将系数行列式 $D$ 中的第 $j$ 列元素用方程组右侧的常数项 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 替换后得到的行列式。 $D_j=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$ 当系数行列式 $D\ne 0$ 时，该方程组有唯一解，解为： $x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\dots ,x_n=\frac{D_n}{D}$

使用条件

克拉默法则的适用前提非常严格，必须同时满足以下两个条件：

1. 方程的个数必须等于未知数的个数。
2. 系数行列式 $D$ 的值不等于零，即 $D=|A|\ne 0$。

应用与推论

克拉默法则不仅用于求解，更重要的是用于判断解的存在性与唯一性，这是考研的重点。

非齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

• 若 $D=|A|\ne 0$，则方程组有唯一解。
• 若 $D=|A|=0$：
  • 如果至少存在一个 $D_j\ne 0$ ($j=1,\dots ,n$)，则方程组无解。
  • 如果所有的 $D_j=0$ ($j=1,\dots ,n$)，则方程组有无穷多解。（注意：此为充分条件，更一般的判断需要用秩）

齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$

对于齐次方程组，由于常数项 $\mathbf{b}=0$，显然所有的 $D_j$ 必然为 $0$（因为 $D_j$ 中有一列全为零）。

• 若 $D=|A|\ne 0$，根据克拉默法则，$x_j=\frac{D_j}{D}=\frac{0}{D}=0$，此时方程组只有零解。
• 若 $D=|A|=0$，克拉默法则不适用，但此时方程组有非零解（即无穷多解）。这是线性代数中一个极其重要的结论。