向量组

向量与向量组

$n$ 维向量：由 $n$ 个数组成的有序数组称为一个 $n$ 维向量。这 $n$ 个数称为向量的 $n$ 个分量。

• 行向量：$\alpha =(a_1,a_2,\dots ,a_n)$
• 列向量：$\alpha =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$

向量组：若干个同维数的向量（行、列要统一）所组成的集合称为向量组。 例如，由 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组可表示为 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$。

向量组的线性概念

线性组合

给定向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ 和一组实数 $k_1,k_2,\dots ,k_m$，则表达式

$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$

称为向量组 $A$ 的一个线性组合，这组实数 $k_1,k_2,\dots ,k_m$ 称为组合系数。线性组合的结果仍然是一个与 ${\alpha }_i$ 同维数的向量。

线性表出

给定向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ 和一个向量 $\beta$。如果存在一组实数 $k_1,k_2,\dots ,k_m$，使得

$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$

则称向量 $\beta$ 能由向量组 $A$ 线性表出（或线性表示）。

核心：向量 $\beta$ 能由向量组 $A:{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性表出的充要条件是，以 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 为列向量构成的矩阵 $A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$，其对应的 非齐次线性方程组 $Ax=\beta$ 有解。

• 根据克罗内克 - 卡佩里定理，这等价于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 $r(A)=r(A|\beta )$。
• $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m,\beta )$。

线性相关

对于向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$，如果存在一组不全为零的常数 $k_1,k_2,\dots ,k_m$，使得

$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$

其中 $0$ 是零向量，则称向量组 $A$ 是线性相关的。

等价表述：向量组 $A:{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ ($m\ge 2$) 线性相关的充要条件是，向量组中至少有一个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。

核心：

1. 从定义出发：齐次线性方程组 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)x=0$ 有非零解。
2. 从秩的角度：以该向量组为列向量构成的矩阵 $A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$，其秩小于向量的个数 $m$，即 $r(A)<m$。
3. 重要推论：
   • 若向量组中向量的个数 $m$ 大于向量的维数 $n$ ($m>n$)，则该向量组必线性相关。
   • 含有零向量的任何向量组，必线性相关。

线性无关

对于向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$，如果只有当 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ 时，才能使得

$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$

成立，则称向量组 $A$ 是线性无关的。

等价表述：向量组 $A:{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关的充要条件是，向量组中任何一个向量都不能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。

核心：

1. 从定义出发：齐次线性方程组 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)x=0$ 只有零解。
2. 从秩的角度：以该向量组为列向量构成的矩阵 $A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$，其秩等于向量的个数 $m$，即 $r(A)=m$。
3. 重要推论：
   • 单个非零向量是线性无关的。
   • 两个向量线性无关的充要条件是它们的分量不成比例。