反对称矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若满足 $A^T=-A$，则称 $A$ 为反对称矩阵 (anti-symmetric matrix)。

从元素角度看，若 $A=(a_{ij})$，则反对称矩阵的条件是 $a_{ji}=-a_{ij}$ 对任意的 $i,j$ 成立。

• 推论： 反对称矩阵的主对角线元素必全为零。
  • 证明： 在 $a_{ji}=-a_{ij}$ 中，令 $j=i$，则 $a_{ii}=-a_{ii}$，即 $2a_{ii}=0$，故 $a_{ii}=0$。
• 示例： 一个 $3$ 阶反对称矩阵具有以下形式： $A=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right)$

性质

1. 对任意的 $n$ 维列向量 $X$，反对称矩阵 $A$ 的 二次型 $X^{T}AX$ 恒为零。

   • 证明： 因为 $X^{T}AX$ 是一个数（$1\times 1$ 矩阵），所以其转置等于自身，即 $(X^{T}AX{)}^T=X^{T}AX$。
   • 另一方面，计算其转置可得 $(X^{T}AX{)}^T=X^T{A}^T(X^T{)}^T=X^T{A}^{T}X$。
   • 由于 $A$ 是反对称矩阵，有 $A^T=-A$，代入上式得 $(X^{T}AX{)}^T=X^T(-A)X=-X^{T}AX$。
   • 因此，我们有 $X^{T}AX=-X^{T}AX$，即 $2X^{T}AX=0$，故 $X^{T}AX=0$。

2. 若 $n$ 阶反对称矩阵 $A$ 可逆，则其 逆矩阵 $A^{-1}$ 也是反对称矩阵。

   • 证明： 我们需要证明 $(A^{-1}{)}^T=-A^{-1}$。
   • 根据矩阵转置和求逆的性质，有 $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$。
   • 因为 $A$ 是反对称矩阵，所以 $A^T=-A$。
   • 代入可得 $(A^{-1}{)}^T=(-A{)}^{-1}=(-1\cdot A{)}^{-1}=(-1{)}^{-1}{A}^{-1}=-A^{-1}$。
   • 故 $A^{-1}$ 也是反对称矩阵。

3. 奇数阶的反对称矩阵的 行列式 必为零，因此奇数阶反对称矩阵必为奇异矩阵（不可逆）。可逆的反对称矩阵只能是偶数阶的。

   • 证明： 设 $A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵，则 $A^T=-A$。
   • 对该式两边取行列式，得到 $|A^T|=|-A|$。
   • 根据行列式性质，我们知道 $|A^T|=|A|$，以及 $|kA|=k^n|A|$。
   • 因此，$|A|=(-1{)}^n|A|$。
   • 当阶数 $n$ 为奇数时， $(-1{)}^n=-1$，则等式变为 $|A|=-|A|$。
   • 这蕴含了 $2|A|=0$，即 $|A|=0$。
   • 由于行列式为零，该矩阵不可逆。因此，任何奇数阶反对称矩阵都是奇异的。

例子

[选择题]

1. 已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆且满足 $A^T=-A$，则下列命题中正确个数为？

• A. 对任意的 $n$ 维向量 $\mathbf{b}$，${\mathbf{b}}^{T}A\mathbf{b}=0$
• B. 对任意的 $n$ 维向量 $\mathbf{b}$，${\mathbf{b}}^T{A}^{-1}\mathbf{b}=0$
• C. 对任意的 $n$ 维向量 $\mathbf{b}$，$r(A+\mathbf{b}{\mathbf{b}}^T)=n$ (超纲跳过，需构造矩阵做广义初等变换)
• D. $n$ 可能为 3

[答案]

正确命题的个数为 2。 (命题 A 和 B 正确)

[选择题]

1. 设 $n$ 阶非零实矩阵 $A$ 满足 $A^T+A=O$，则下列正确的是 ()

• A. $Ax=x$ 有无穷多解
• B. $Ax=-x$ 有无穷多解
• C. $Ax=x$ 仅有零解
• D. $Ax=-x$ 无解

[答案]

答案：C

分析： 已知 $n$ 阶非零实矩阵 $A$ 满足 $A^T+A=O$，这意味着 $A^T=-A$，所以 $A$ 是一个实反对称矩阵。

对于任意实向量 $x$，我们有：

$x^{T}Ax$ 是一个标量。

$(x^{T}Ax{)}^T=x^T{A}^{T}x$

由于 $A^T=-A$，所以 $x^T{A}^{T}x=x^T(-A)x=-x^{T}Ax$。

因为 $x^{T}Ax$ 是标量，所以 $(x^{T}Ax{)}^T=x^{T}Ax$。

因此，$x^{T}Ax=-x^{T}Ax$，这推出 $2x^{T}Ax=0$，即 $x^{T}Ax=0$。

现在我们逐一分析各个选项：

• 对于选项 A 和 C ($Ax=x$)： 如果 $x$ 是方程 $Ax=x$ 的解，则将方程两边左乘 $x^T$，得到 $x^T(Ax)=x^{T}x$。 根据我们之前的推导，$x^{T}Ax=0$。 所以，$0=x^{T}x$。 对于实向量 $x$， $x^{T}x=\Vert x{\Vert }^2$ (向量的模的平方)。 因此，$\Vert x{\Vert }^2=0$ 当且仅当 $x=0$ (零向量)。 这意味着方程 $Ax=x$ 只有零解。 所以，选项 A ($Ax=x$ 有无穷多解) 是错误的。 选项 C ($Ax=x$ 仅有零解) 是正确的。

• 对于选项 B 和 D ($Ax=-x$)： 如果 $x$ 是方程 $Ax=-x$ 的解，则将方程两边左乘 $x^T$，得到 $x^T(Ax)=x^T(-x)$。 根据我们之前的推导，$x^{T}Ax=0$。 所以，$0=-x^{T}x$。 这同样意味着 $x^{T}x=0$，即 $x=0$。 所以，方程 $Ax=-x$ 只有零解。 因此，选项 B ($Ax=-x$ 有无穷多解) 是错误的。 选项 D ($Ax=-x$ 无解) 也是错误的，因为它有零解。

综上所述，只有选项 C 是正确的。