初等矩阵

初等矩阵是线性代数中的基本工具，它将初等变换与矩阵乘法联系在一起，是理解矩阵可逆性、矩阵等价和求解线性方程组等核心概念的理论基础。

什么是初等变换

对矩阵施加以下三种基本操作，称为初等变换。初等变换分为行变换和列变换。

1. 交换 (Exchange)：交换矩阵的两行（或两列）。记作 $r_i\leftrightarrow r_j$（行）或 $c_i\leftrightarrow c_j$（列）。
2. 倍乘 (Scaling)：用一个非零常数 $k$ 乘以矩阵的某一行（或某一列）。记作 $r_i\to k{r}_i$（行）或 $c_i\to k{c}_i$（列）。
3. 倍加 (Addition)：将某一行（或某一列）的 $k$ 倍加到另一行（或另一列）上。记作 $r_j\to r_j+k{r}_i$（行）或 $c_j\to c_j+k{c}_i$（列）。

初等矩阵的定义

由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵 (Elementary Matrix)。

初等矩阵共有三种类型，与三种初等变换一一对应：

1. 交换矩阵 $E(i,j)$：由单位矩阵 $E$ 交换第 $i$ 行和第 $j$ 行（或第 $i$ 列和第 $j$ 列）得到。

   • 例如，将三阶单位矩阵 $E_3$ 的第 1 行和第 2 行交换： $E(1,2)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

2. 倍乘矩阵 $E(i(k))$：由单位矩阵 $E$ 将第 $i$ 行（或第 $i$ 列）乘以非零常数 $k$ 得到。

   • 例如，将三阶单位矩阵 $E_3$ 的第 2 行乘以 $k$ ($k\ne 0$)： $E(2(k))=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

3. 倍加矩阵 $E(ij(k))$：由单位矩阵 $E$ 将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（或第 $j$ 列的 $k$ 倍加到第 $i$ 列）得到。

   • 例如，将三阶单位矩阵 $E_3$ 的第 2 行的 $k$ 倍加到第 1 行上 ($r_1\to r_1+k{r}_2$)： $E(12(k))=\left(\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

初等矩阵的性质与应用

初等矩阵的可逆性

结论： 所有初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵。

• 交换矩阵的逆：$E(i,j{)}^{-1}=E(i,j)$
  • （交换两次等于没换）
• 倍乘矩阵的逆：$E(i(k){)}^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))$
  • （乘以 $k$ 后再乘以 $\frac{1}{k}$ 即可恢复）
• 倍加矩阵的逆：$E(ij(k){)}^{-1}=E(ij(-k))$
  • （加上 $k$ 倍后再减去 $k$ 倍即可恢复）

行列式的值：

• $|E(i,j)|=-1$
• $|E(i(k))|=k$
• $|E(ij(k))|=1$ 由于行列式均不为 0，这也证明了初等矩阵必然可逆。

与矩阵乘法的关系

这是初等矩阵最核心的应用，它把抽象的变换操作具象化为矩阵乘法。

• 左乘行变：用一个初等矩阵 $P$ 左乘矩阵 $A$ (即 $PA$)，其结果相当于对矩阵 $A$ 施加了一次与 $P$ 对应的初等行变换。
• 右乘列变：用一个初等矩阵 $P$ 右乘矩阵 $A$ (即 $AP$)，其结果相当于对矩阵 $A$ 施加了一次与 $P$ 对应的初等列变换。

记忆口诀： 左行右列。

示例： 设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$， $E(1,2)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$。

• 左乘：$E(1,2)A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right)$。结果是对 $A$ 进行了 $r_1\leftrightarrow r_2$ 的行变换。
• 右乘：$AE(1,2)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right)$。结果是对 $A$ 进行了 $c_1\leftrightarrow c_2$ 的列变换。

与矩阵等价和可逆的关系

• 矩阵等价的定义：若矩阵 $B$ 可由矩阵 $A$ 经过有限次初等变换得到，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$。
• 矩阵等价的充要条件：$A\sim B⟺$ 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 $PAQ=B$。
  • 这里的 $P$ 和 $Q$ 实际上是一系列初等矩阵的乘积。
• 矩阵可逆的充要条件：$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
  • 推论： $A$ 可逆 $⟺A$ 的标准形是单位矩阵 $E$ $⟺A$ 可以通过一系列初等行变换化为 $E$。
  • 这个性质解释了为什么可以用初等行变换法求逆矩阵： $P_k\cdots P_2{P}_{1}A=E$ $A=(P_k\cdots P_1{)}^{-1}E=P_1^{-1}{P}_2^{-1}\cdots P_k^{-1}E$ $A^{-1}=P_k\cdots P_{1}E$ 这说明对 $A$ 实施的行变换序列，同样作用在 $E$ 上，就得到了 $A^{-1}$。

例题

[选择题]

1. 将三阶可逆矩阵 $A$ 交换第一二列得到矩阵 $B$，则 ()

• A. 将 $A^{\ast }$ 交换第一二行得到 $B^{\ast }$
• B. 将 $A^{\ast }$ 交换第一二行得到 $-B^{\ast }$
• C. 将 $A^{\ast }$ 交换第一二列得到 $B^{\ast }$
• D. 将 $A^{\ast }$ 交换第一二列得到 $-B^{\ast }$

[答案]

答案：B

解释： 设 $A$ 是一个三阶可逆矩阵。 将矩阵 $A$ 的第一列和第二列交换得到矩阵 $B$，这可以用初等矩阵表示为 $B=A{P}_{12}$，其中 $P_{12}$ 是通过交换单位矩阵 $E$ 的第一列和第二列得到的初等矩阵。

对于三阶矩阵，交换两列（或两行）会使行列式变号，所以 $|P_{12}|=-1$。

初等矩阵 $P_{12}$ 具有性质 $P_{12}^T=P_{12}$ 且 $P_{12}^2=E$，因此 $P_{12}^{-1}=P_{12}$。

根据伴随矩阵的性质 $(XY{)}^{\ast }=Y^{\ast }{X}^{\ast }$，有：

$B^{\ast }=(A{P}_{12}{)}^{\ast }=P_{12}^{\ast }{A}^{\ast }$

对于任意可逆矩阵 $M$，其伴随矩阵 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$。

所以，$P_{12}^{\ast }=|P_{12}|P_{12}^{-1}=(-1)P_{12}=-P_{12}$。

将 $P_{12}^{\ast }=-P_{12}$ 代入 $B^{\ast }$ 的表达式：

$B^{\ast }=(-P_{12})A^{\ast }=-P_{12}{A}^{\ast }$

$-B^{\ast }=P_{12}{A}^{\ast }$

选项 B ” 将 $A^{\ast }$ 交换第一二行得到 $-B^{\ast }$” 符合推导结果。