行列式的概念

行列式是与一个 $n$ 阶方阵 $A$ 相关联的一个标量（一个数），记作 $det (A)$ 或 $∣ A ∣$ 。它包含了关于矩阵的重要信息，例如矩阵是否可逆。

低阶行列式

一阶行列式：定义为该元素本身。 $∣ a_{11} ∣ = a_{11}$
二阶行列式：计算方法为主对角线元素之积减去副对角线元素之积，也称为对角线法则。 $D = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$
三阶行列式：同样遵循对角线法则，包含六项，三项为正，三项为负。 $D = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$

注意：对角线法则仅适用于二阶和三阶行列式。

排列、逆序数

排列 (Permutation)：由 $1, 2, \dots, n$ 组成的一个有序数组，称为一个 $n$ 阶排列。例如， $3142$ 是一个 4 阶排列。
逆序 (Inversion)：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反（即大的数排在小的数前面），则称这对数构成一个逆序。例如，在排列 $3142$ 中，逆序有： $(3, 1), (3, 2), (4, 2)$ 。
逆序数 (Inversion Number)：一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为 $τ (j_{1} j_{2} ... j_{n})$ 。例如， $τ (3142) = 3$ 。
奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

n 阶行列式

$n$ 阶行列式包含 $n!$ 项，是取自不同行、不同列的 $n$ 个元素乘积的代数和。

其严格定义为：

$D = det (A) = \sum_{j_{1} j_{2} ... j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} ... j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$

其中：

求和 $\sum$ 是对所有 $n$ 阶排列 $j_{1} j_{2} ... j_{n}$ 进行的。
$a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ 是从行列式中不同行、不同列取出的 $n$ 个元素的乘积。
$(- 1)^{τ (j_{1} j_{2} ... j_{n})}$ 是符号项，由列标排列 $j_{1} j_{2} ... j_{n}$ 的逆序数 $τ$ 决定。如果为奇排列，符号为负；如果为偶排列，符号为正。

特殊行列式

主、副对角线行列式

上（下）三角形行列式：其值等于主对角线元素的乘积。 $D = a_{11} 0 ⋮ 0 a_{12} a_{22} ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = a_{11} a_{22} \dots a_{nn} = \prod_{i = 1}^{n} a_{ii}$
对角行列式：是上（下）三角形行列式的特例，其值也等于主对角线元素的乘积。
副对角线行列式：其值等于副对角线元素之积，再乘以符号因子 $(- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}$ 。 $D = 00 ⋮ a_{n 1} \dots \dots ⋱ \dots 0 a_{2, n - 1} ⋮ 0 a_{1 n} 0 ⋮ 0 = (- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n 1}$

范德蒙德行列式

具有特定结构，每一列（或行）都是一个等比数列。

$V_{n} = 1 x_{1} x_{1}^{2} ⋮ x_{1}^{n - 1} 1 x_{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{2}^{n - 1} \dots \dots \dots ⋱ \dots 1 x_{n} x_{n}^{2} ⋮ x_{n}^{n - 1} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{j} - x_{i})$

核心结论：范德蒙德行列式 (Vandermonde Determinant) 等于所有满足 $j > i$ 的差 $(x_{j} - x_{i})$ 的连乘积。

爪形行列式

形如“爪”的行列式，其特点是除了主对角线和某一行（或某一列）外，其余元素均为 0。

$D_{n} = d_{1} b_{2} b_{3} ⋮ b_{n} a_{2} d_{2} 0 ⋮ 0 a_{3} 0 d_{3} ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots a_{n} 00 ⋮ d_{n}$

计算方法：通常利用行列式性质将其化为上三角形行列式计算。若 $d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}$ 均不为零，则有公式：

$D_{n} = d_{1} d_{2} \dots d_{n} - \sum_{i = 2}^{n} a_{i} b_{i} \prod_{j = 2, j \neq = i}^{n} d_{j}$

分块行列式

将一个大行列式分块，利用块矩阵的性质来简化计算。其中 $A, B, C, D$ 均为矩阵。

核心公式：

左下角或右上角为零矩阵： $A O B C = ∣ A ∣∣ C ∣$ $A B O C = ∣ A ∣∣ C ∣$

要求： $A$ 和 $C$ 必须是方阵。
主对角线为零矩阵：设 $A$ 是 $m$ 阶方阵， $B$ 是 $n$ 阶方阵。 $O B A C = (- 1)^{mn} ∣ A ∣∣ B ∣$ $A C B O = (- 1)^{mn} ∣ B ∣∣ C ∣$

要求： $A$ 和 $B$ （或 $B$ 和 $C$ ）必须是方阵。

Okay, three, two, one, let's jam

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