逆矩阵

定义

对于一个 $n$ 阶方阵 $A$，如果存在一个同阶方阵 $B$，使得它们的乘积满足：

$AB=BA=E$

其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，那么我们称方阵 $A$ 是可逆的 (Invertible)，并称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵 (Inverse Matrix)，记作 $A^{-1}$。

重要前提与结论：

1. 只有方阵才可能存在逆矩阵。
2. 如果一个方阵的逆矩阵存在，那么它是唯一的。
3. 方阵 $A$ 可逆的充要条件是其行列式不为零，即 $|A|\ne 0$。
   • $|A|\ne 0$ 的矩阵称为非奇异矩阵 (Non-singular Matrix)。
   • $|A|=0$ 的矩阵称为奇异矩阵 (Singular Matrix)，奇异矩阵不可逆。

性质

设 $A,B$ 均为同阶可逆方阵，$k$ 为非零常数。

1. 逆矩阵的逆矩阵： $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
2. 数乘的逆矩阵： $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
3. 转置的逆矩阵： $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$ (求逆和求转置两种运算可以交换次序)
4. 乘积的逆矩阵： $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
   • 该性质被称为矩阵求逆的“穿脱原则”(Socks-and-Shoes Rule)，顺序必须颠倒。可以推广到多个矩阵的乘积。
5. 行列式的关系： $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}=\frac{1}{|A|}$
   • 推导： 由 $A{A}^{-1}=E$，两边取行列式得 $|A{A}^{-1}|=|E|$，即 $|A||A^{-1}|=1$。
6. 与伴随矩阵的关系： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
7. 对角矩阵的逆： 若 $A=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ 且所有 ${\lambda }_i\ne 0$，则 $A^{-1}=\text{diag}({\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\dots ,{\lambda }_n^{-1})$

求逆矩阵

求一个具体 n 阶矩阵的逆矩阵，主要有以下几种方法：

伴随矩阵法

公式： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

步骤：

1. 计算行列式： 计算 $|A|$。若 $|A|=0$，则矩阵 $A$ 不可逆，计算结束。
2. 求代数余子式： 计算出 $A$ 的每一个元素 $a_{ij}$ 对应的代数余子式 $A_{ij}$。
3. 构造伴随矩阵： 将所有代数余子式按转置的位置排列，得到伴随矩阵 $A^{\ast }$。 $A^{\ast }=(A_{ji})=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$
4. 计算逆矩阵： 将伴随矩阵 $A^{\ast }$ 除以行列式 $|A|$ 即可。

适用场景： 此方法理论性强，但计算量大。在考研中，主要适用于二阶和三阶矩阵的笔算。

初等行变换法 (高斯 - 若尔当消元法)

原理： 如果 $A$ 可逆，那么可以通过一系列初等行变换将 $A$ 化为单位矩阵 $E$。将同样的一系列行变换作用于单位矩阵 $E$，就能得到 $A^{-1}$。

步骤：

1. 构造增广矩阵： 写出增广矩阵 $[A|E]$。
2. 进行初等行变换： 对整个增广矩阵施加初等行变换，目标是将左侧的 $A$ 矩阵化为单位矩阵 $E$。
3. 得到逆矩阵： 当左侧成功变为 $E$ 时，右侧的矩阵就是 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。 $[A|E]\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }[E|A^{-1}]$

适用场景： 这是计算逆矩阵最通用、最重要的方法，特别是对于阶数较高 (如三阶及以上) 的具体矩阵，此方法计算效率更高、更不容易出错。

分块逆矩阵

对于一些特殊的分块矩阵，若其对角线上的子块可逆，则有简便的求逆公式。

设分块矩阵中的子块 $A,B,C,D$ 均为方阵。

对角形式

若 $A,B$ 均可逆，则：

• 准对角矩阵 (Block Diagonal Matrix) ${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right]$

• 准反向对角矩阵 (Block Anti-diagonal Matrix) ${\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right]$

三角形式

若主对角线上的子块 $A,C$ (或 $B,C$) 均可逆，则：

• 上三角形式 ${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ O& C\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}B{C}^{-1}\\ O& C^{-1}\end{array}\right]$

• 下三角形式 ${\left[\begin{array}{cc}B& O\\ D& C\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{B}^{-1}& O\\ -C^{-1}D{B}^{-1}& C^{-1}\end{array}\right]$

定义法

原理： 利用逆矩阵的定义 $AB=E$ 或 $BA=E$ 来求解。

适用场景： 这种方法不用于求解具体的数值矩阵，而是用于求解抽象矩阵的逆。通常题目会给出一个关于矩阵 $A$ 的多项式方程。

示例： 设矩阵 $A$ 满足 $A^2+2A-3E=O$，证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$。

解： 对给定方程进行移项，目标是凑出 $A\cdot (\text{something})=E$ 的形式。 $A^2+2A=3E$ 从左侧提出一个矩阵 $A$： $A(A+2E)=3E$ 两边同时乘以 $\frac{1}{3}$： $A\left(\frac{1}{3}(A+2E)\right)=E$ 根据逆矩阵的定义，我们找到了一个矩阵 $B=\frac{1}{3}(A+2E)$，使得 $AB=E$。因此，$A$ 是可逆的，其逆矩阵为： $A^{-1}=\frac{1}{3}(A+2E)$