转置矩阵

定义

将一个 $m\times n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行换成同序数的列，列换成同序数的行，所得到的新矩阵称为矩阵 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$ 或 $A^{\prime }$。

若 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，则 $A^T=(a_{ji}{)}_{n\times m}$。

例如： 设矩阵 $A$ 为： $A={\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)}_{2\times 3}$ 则它的转置矩阵 $A^T$ 为： $A^T={\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)}_{3\times 2}$

特殊定义：

1. 对称矩阵：若方阵 $A$ 满足 $A^T=A$，则称 $A$ 为对称矩阵。其特点是 $a_{ij}=a_{ji}$，即元素关于主对角线对称。
2. 反对称矩阵：若方阵 $A$ 满足 $A^T=-A$，则称 $A$ 为反对称矩阵。其特点是 $a_{ij}=-a_{ji}$，且主对角线上的元素全为零，即 $a_{ii}=0$。

性质

假设矩阵 $A$, $B$ 的运算有意义， $k$ 为常数。

1. 二次转置：$(A^T{)}^T=A$
2. 和的转置：$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
3. 数乘的转置：$(kA{)}^T=k{A}^T$
4. 乘积的转置：$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
   • 推广：$(A_1{A}_2\cdots A_m{)}^T=A_m^T\cdots A_2^T{A}_1^T$
5. 行列式的性质：若 $A$ 是方阵，则 $|A^T|=|A|$。
6. 逆矩阵的性质：若方阵 $A$ 可逆，则 $A^T$ 也可逆，且 $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。
7. 伴随矩阵的性质：若 $A$ 是方阵，则 $(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$。
8. 秩的性质：矩阵的秩不因转置而改变，即 $r(A^T)=r(A)$。
9. 与对称矩阵的联系：
   • 对于任意矩阵 $A$， $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$ 都是对称矩阵。
     • 证明：$(A^{T}A{)}^T=A^T(A^T{)}^T=A^{T}A$。
   • 若 $A$ 为实矩阵，且 $A^{T}A=O$，则必有 $A=O$。