行列式的性质

行列式的性质是计算行列式和证明相关命题的基础，尤其是在简化计算方面至关重要。

行列式与转置

性质 1：行列式 $D$ 与其转置行列式 $D^T$ 相等。 $|A|=|A^T|$

推论：行列式中所有对行成立的性质，对列也同样成立。

行列式的线性性质（针对某一行或某一列）

行列式对于其任意一行（或一列）的运算都满足线性性质。

• 可加性 (Additivity)：如果行列式中某一行（或列）的元素都是两数之和，则该行列式可以拆分为两个行列式之和。 $\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}+b_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}+b_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & b_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & b_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

  注意：是**某一行（列）**可拆，不是整个矩阵可拆，即 $|A+B|\ne |A|+|B|$。

• 齐次性 (Homogeneity) / 提公因子：某一行（或列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。 $\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & k{a}_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & k{a}_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

  考研提示：这与矩阵的数乘不同。对于 $n$ 阶矩阵 $A$，有： $|kA|=k^n|A|$

行列式的初等变换性质

利用初等行（列）变换将行列式化为上（下）三角形行列式是计算行列式的核心方法。

• 性质 2 (互换)：互换行列式的两行（或两列），行列式变号。 $D_1=-D$
• 性质 3 (倍加)：将某一行（或列）的 $k$ 倍加到另一行（或列）上，行列式的值不变。这是最常用、最重要的性质。 $D_1=D$
• 性质 4 (倍乘)：用数 $k$ 乘以行列式的某一行（或列），等于用 $k$ 乘以该行列式。 (此为线性性质的另一种表述) $D_1=kD$

行列式为零的条件

• 性质 5：若行列式中有任意一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值为 $0$。
• 性质 6：若行列式中有两行（或两列）的元素完全相同或成比例，则此行列式的值为 $0$。

重要推论：$|A|=0$ 的充要条件是矩阵 $A$ 的行（列）向量组线性相关。$|A|\ne 0$ 的充要条件是 $A$ 是可逆矩阵（或称非奇异矩阵）。

重要的行列式乘法公式与推论

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵。

• 乘法公式：两个矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积。 $|AB|=|A||B|$
• 逆矩阵：若矩阵 $A$ 可逆，则其逆矩阵 $A^{-1}$ 的行列式等于 $A$ 的行列式的倒数。 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=|A{|}^{-1}$
• 矩阵幂： $|A^k|=(|A|{)}^k(k\in {\mathbb{N}}^{+})$
• 伴随矩阵：$A$ 的伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的行列式为： $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ 推导：由 $A{A}^{\ast }=|A|E$，两边取行列式得 $|A{A}^{\ast }|=||A|E|$，即 $|A||A^{\ast }|=|A{|}^n|E|=|A{|}^n$。当 $|A|\ne 0$ 时，两边同除以 $|A|$ 即得。当 $|A|=0$ 时，该式也成立（需另外证明）。