Gram 矩阵

前提条件

• 矩阵 $A$ 是一个 $m\times n$ 的实矩阵。
• 矩阵 $A$ 的秩为 $r(A)=m$。
• 这个条件 ($m\le n$ 且 $r(A)=m$) 称为行满秩。

基本性质

• 阶数与对称性: 由于 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, $A^T$ 是 $n\times m$ 矩阵, 故 $A{A}^T$ 是一个 $m\times m$ 的方阵。因为 $(A{A}^T{)}^T=(A^T{)}^T{A}^T=A{A}^T$，所以 $A{A}^T$ 是一个实对称矩阵。
• 可相似对角化: 任何实对称矩阵都必可以相似对角化。因此，$A{A}^T$ 可相似对角化。

核心结论：$A{A}^T$ 是正定矩阵

$A{A}^T$ 是一个正定矩阵。

证明: 判定一个矩阵为正定矩阵，需满足两个条件：

1. 该矩阵为对称矩阵 (已在上方证明)。
2. 对任意非零向量 $x\in {\mathbb{R}}^m$，二次型 $x^T(A{A}^T)x>0$。

对二次型进行变形：

$x^T(A{A}^T)x=(x^{T}A)A^{T}x=(A^{T}x{)}^T(A^{T}x)=\Vert A^{T}x{\Vert }^2\ge 0$

等号成立的条件是 $A^{T}x=0$。

考察齐次线性方程组 $A^{T}x=0$：

• 该方程组的系数矩阵为 $A^T$, 它是一个 $n\times m$ 的矩阵。
• 其秩 $r(A^T)=r(A)=m$。
• 方程组未知数 $x$ 的个数为 $m$。
• 因为系数矩阵的秩等于未知数的个数 ($r(A^T)=m$)，所以该齐次线性方程组只有唯一的零解, 即 $x=0$。

因此，只有当 $x=0$ 时, 才有 $A^{T}x=0$，进而 $\Vert A^{T}x{\Vert }^2=0$。

对于任意非零向量 $x\ne 0$，必有 $A^{T}x\ne 0$，从而 $\Vert A^{T}x{\Vert }^2>0$。

即 $x^T(A{A}^T)x>0$ 对任意 $x\ne 0$ 成立。

综上所述，$A{A}^T$ 是一个正定矩阵。

可逆性相关等价命题

由于 $A{A}^T$ 是 $m$ 阶方阵，且其秩 $r(A{A}^T)=r(A)=m$，因此 $A{A}^T$ 是一个可逆矩阵（或非奇异矩阵）。以下命题均为 $A{A}^T$ 可逆的等价命题：

• $A{A}^T$ 是满秩矩阵，即 $r(A{A}^T)=m$。
• $A{A}^T$ 的行列式不为零，即 $|A{A}^T|\ne 0$。
• $A{A}^T$ 的所有特征值均不为零。 (更进一步，作为正定矩阵，其特征值均为正数)。
• $A{A}^T$ 的行向量组与列向量组均线性无关。
• 齐次线性方程组 $A{A}^{T}x=0$ 仅有零解。
• 对任意 $m$ 维列向量 $b$，非齐次线性方程组 $A{A}^{T}x=b$ 总有唯一解。
• $A{A}^T$ 与 $m$ 阶单位矩阵 $E_m$ 等价。即存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $PA{A}^{T}Q=E_m$。
• $A{A}^T$ 与 $m$ 阶单位矩阵 $E_m$ 合同。即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T(A{A}^T)P=E_m$。 (这是正定矩阵的充要条件)。