伴随矩阵

定义与计算

前提： 只有方阵才有伴随矩阵。

对于一个 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，其每个元素 $a_{ij}$ 都有一个对应的代数余子式 $A_{ij}$。

代数余子式 (Algebraic Cofactor): $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 其中 $M_{ij}$ 是将方阵 $A$ 划去第 $i$ 行和第 $j$ 列后，剩余元素按原顺序组成的 $n-1$ 阶行列式，称为余子式 (Minor)。

伴随矩阵 (Adjoint Matrix) 的定义分为两步：

1. 将方阵 $A$ 的所有元素 $a_{ij}$ 替换为其对应的代数余子式 $A_{ij}$，得到一个新矩阵，称为代数余子式矩阵。 $\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$
2. 将这个代数余子式矩阵进行转置，得到的矩阵就是 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^{\ast }$。 $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$ 简单记作：$A^{\ast }=(A_{ji})$，即 $A^{\ast }$ 的 $(i,j)$ 元是原矩阵 $A$ 的 $(j,i)$ 元的代数余子式。

低阶伴随矩阵的快速求解

对于二阶矩阵，其伴随矩阵有非常简洁的记忆方法，在客观题中极为常用。

设二阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，其伴随矩阵为：

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

记忆口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号。

重要性质与公式

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，$k$ 为非零常数，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。

1. 核心性质： $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$ 这是伴随矩阵最重要、最核心的公式，是绝大多数性质的推导基础。

2. 与逆矩阵的关系： 当 $|A|\ne 0$ (即 $A$ 可逆) 时，由核心性质可得： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$ 同样地， $A^{\ast }=|A|A^{-1}$

3. 伴随矩阵的行列式： $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ 推导： 由 $A{A}^{\ast }=|A|E$，两边取行列式得 $|A{A}^{\ast }|=||A|E|$，即 $|A||A^{\ast }|=|A{|}^n$。当 $|A|\ne 0$ 时，约去 $|A|$ 得 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$；当 $|A|=0$ 时，该式也成立。

4. 伴随矩阵的伴随矩阵： 当 $A$ 可逆时， $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$

5. 伴随矩阵与其他运算的关系：

   • 转置： $(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$
   • 数乘： $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$
   • 乘积： $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$ (注意顺序)
   • 逆： $(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

要点

1. 核心公式的应用： 公式 $A{A}^{\ast }=|A|E$ 是解决抽象矩阵问题的关键。例如，题目给出 $AB=C$，让你求 $A^{\ast }$ 相关的表达式，通常需要使用这个公式进行代换。

2. 求逆矩阵： 对于具体的二阶、三阶矩阵，求伴随矩阵是求逆矩阵的标准步骤之一。务必熟练掌握二阶的快速求解法和三阶的代数余子式计算。

3. 行列式计算： $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ 是客观题的高频考点。注意指数是 $n-1$，其中 $n$ 是矩阵的阶数。 例题： 设 $A$ 是 3 阶方阵，且 $|A|=2$，求 $|(2A{)}^{\ast }|$。 解： $|(2A{)}^{\ast }|=|2^{3-1}{A}^{\ast }|=|4A^{\ast }|=4^3|A^{\ast }|=64|A{|}^{3-1}=64|A{|}^2=64\times 2^2=256$

4. 伴随矩阵的秩： 这是一个非常重要的结论，经常出现在选择题和填空题中。设 $A$ 是 $n$ 阶方阵：

   • 若 秩 $r(A)=n$，则 $|A|\ne 0$，易知 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}\ne 0$，所以 $r(A^{\ast })=n$。
   • 若 秩 $r(A)=n-1$，则 $|A|=0$，但 $A$ 中至少有一个 $n-1$ 阶子式不为零，即 $A$ 的代数余子式不全为零。此时 $A^{\ast }\ne O$。由 $A{A}^{\ast }=|A|E=O$ 可知 $A^{\ast }$ 的列向量都是方程组 $Ax=0$ 的解。因为 $r(A)=n-1$，所以 $Ax=0$ 的基础解系只有一个线性无关的解向量，因此 $A^{\ast }$ 的所有列向量都共线，所以 $r(A^{\ast })=1$。
   • 若 秩 $r(A)<n-1$，则 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式均为零，即所有的代数余子式 $A_{ij}=0$。因此 $A^{\ast }=O$ (零矩阵)，所以 $r(A^{\ast })=0$。

   结论总结： $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& \text{if }r(A)=n\\ 1,& \text{if }r(A)=n-1\\ 0,& \text{if }r(A)<n-1\end{array}$