独立性

事件独立性

定义

描述性定义：设 $A,B$ 是两个事件，如果一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率，则称这两个事件是相互独立的。即 $P(B|A)=P(B)$，其中 $P(A)>0$。

数学定义：设 $A,B$ 是两个事件，如果满足等式 $P(AB)=P(A)P(B)$ 则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立。

对于三个事件 $A,B,C$，如果它们满足

$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$

则称事件 $A,B,C$ 相互独立。

推广到 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\dots ,A_n$，如果对任意 $k$ ($2\le k\le n$) 和任意 $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$，都有

$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\dots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\dots P(A_{i_k})$

则称事件 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 相互独立。

性质

1. 相互独立与两两独立：

   • 若事件 $A,B,C$ 相互独立，则它们必然两两独立（即 $A$ 与 $B$ 独立， $A$ 与 $C$ 独立， $B$ 与 $C$ 独立）。
   • 反之，即使事件 $A,B,C$ 两两独立，它们也未必相互独立。相互独立是更强的条件。

2. 独立性的传递：若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $\bar{A}$ 与 $B$、 $A$ 与 $\bar{B}$、$\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也都相互独立。

   • 证明 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立： $$\begin{array}{rl}P(A\bar{B})& =P(A-AB)\\ & =P(A)-P(AB)\\ & =P(A)-P(A)P(B)(\text{因}A,B\text{独立})\\ & =P(A)(1-P(B))\\ & =P(A)P(\bar{B})\end{array}$$
   • 该性质可推广：若 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 相互独立，则将其中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的新一组事件仍然相互独立。

3. 零概率与全概率事件：若 $P(A)=0$ 或 $P(A)=1$，则事件 $A$ 与任意事件 $B$ 都相互独立。

n 重伯努利试验

定义

独立试验：指各次试验的结果相互独立。

独立重复试验：指在相同条件下重复进行的、各次试验结果相互独立的试验。

伯努利试验：只有两种可能结果的随机试验，即“成功”和“失败”。

n 重伯努利试验（或称伯努利概型）是满足以下条件的独立重复试验模型：

1. 试验只重复进行 $n$ 次。
2. 各次试验相互独立。
3. 每次试验只有两个结果：$A$（“成功”）和 $\bar{A}$（“失败”）。
4. 每次试验中事件 $A$ 发生的概率相同，记为 $P(A)=p$，则 $P(\bar{A})=1-p=q$。

在 $n$ 重伯努利试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为：

$P_n(k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$

其中 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 表示从 $n$ 次试验中选出 $k$ 次成功的组合数。这个概率分布被称为二项分布，记为 $B(n,p)$。