概率

定义

概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

描述性定义 (古典概型定义)：如果一个试验满足：(1) 只有有限个可能的结果；(2) 每个结果发生的可能性都相同。那么事件 $A$ 的概率定义为： $P (A) = \frac{A 所包含的基本事件数}{总的基本事件数}$
统计性定义 (频率定义)：在相同条件下进行 $n$ 次重复试验，事件 $A$ 发生了 $n_{A}$ 次，则称 $f_{n} (A) = \frac{n _{A}}{n}$ 为事件 $A$ 发生的频率。当试验次数 $n$ 很大时，频率 $f_{n} (A)$ 会稳定在某个常数附近，这个常数就称为事件 $A$ 的概率，即： $P (A) = n \to \infty lim \frac{n _{A}}{n}$
公理化定义：设 $E$ 是一个随机试验， $Ω$ 是其样本空间。对于 $Ω$ 中的每一个事件 $A$ ，赋予一个实数，记为 $P (A)$ ，称为事件 $A$ 的概率。如果函数 $P (\cdot)$ 满足以下三个公理：
- 公理 1 (非负性)：对于任一事件 $A$ ，有 $P (A) \geq 0$ 。
- 公理 2 (正则性/规范性)： $P (Ω) = 1$ 。
- 公理 3 (可列可加性)：对于两两互不相容的事件 $A_{1}, A_{2}, \dots$ （即 $A_{i} A_{j} = \emptyset, i \neq = j$ ），有： $P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots$

概率类型

古典概型

定义

当随机试验的结果为有限个，且每个基本事件发生的可能性均等时，该概率模型称为古典概型。

若样本空间 $Ω$ 包含 $n$ 个基本事件，事件 $A$ 包含 $k$ 个基本事件，则事件 $A$ 的概率为：

P (A) = \frac{k}{n} = \frac{A 中包含的基本事件数}{样本空间中的基本事件总数}

常用方法

列举法：当基本事件总数较少时，直接将所有基本事件一一列举出来。
集合对应法 (排列组合法)：当基本事件总数较多时，利用排列组合公式计算基本事件总数和事件 $A$ 包含的基本事件数。这是考研中最主要的方法。
逆数法 (对立事件法)：当直接计算事件 $A$ 包含的基本事件数较为复杂，而计算其对立事件 $\overset{ˉ}{A}$ 包含的基本事件数较为简单时使用。先求 $P (\overset{ˉ}{A})$ ，再用公式 $P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})$ 求解。

常见题型

直接用定义求概率 这类问题是古典概型的基础，核心在于准确计算样本空间中的基本事件总数 $n$ 和事件 A 所包含的基本事件数 $k$ ，然后应用公式 $P (A) = \frac{k}{n}$ 求解。关键是熟练运用排列组合公式。
- 例：从含有 $N_{1}$ 个白球和 $N_{2}$ 个黑球的袋中随机取出 $n$ 个球，求恰好取出 $k$ 个白球和 $n - k$ 个黑球的概率。
- 解：
  - 基本事件总数：从 $N_{1} + N_{2}$ 个球中任取 $n$ 个，共有 $C_{N_{1} + N_{2}}^{n}$ 种取法。
  - 事件 A 包含的基本事件数：从 $N_{1}$ 个白球中取 $k$ 个 ( $C_{N_{1}}^{k}$ 种)，同时从 $N_{2}$ 个黑球中取 $n - k$ 个 ( $C_{N_{2}}^{n - k}$ 种)。根据乘法原理，共有 $C_{N_{1}}^{k} C_{N_{2}}^{n - k}$ 种取法。
  - 概率为： $P (A) = \frac{C _{N_{1}}^{k} C _{N_{2}}^{n - k}}{C _{N_{1} + N_{2}}^{n}}$
随机分配或随机占位 这类问题通常描述为将 $n$ 个物品放入 $N$ 个位置（或盒子），可以看作是为每个物品随机选择一个位置。
- 基本模型：将 $n$ 个不同的球，随机地放入 $N$ 个不同的盒子中。
- 基本事件总数：每个球都有 $N$ 种放法，根据分步乘法原理，总放法数为 $N^{n}$ 。
- 例：将 $n$ 封不同的信，随机投入 $N$ 个不同的邮筒 ( $n \leq N$ )，求每个邮筒至多有一封信的概率。
- 解：
  - 基本事件总数：每封信都有 $N$ 个邮筒可选，总数为 $N^{n}$ 。
  - 事件 A (每个邮筒至多一封信) 包含的基本事件数：相当于从 $N$ 个邮筒中选出 $n$ 个，并将 $n$ 封信进行全排列放入，共有 $P_{N}^{n} = N (N - 1) \dots (N - n + 1)$ 种方法。
  - 概率为： $P (A) = \frac{P _{N}^{n}}{N ^{n}}$
著名的生日问题也属于此模型。
简单随机抽样 指从含有 $N$ 个个体的有限总体中抽取 $n$ 个个体作为样本。主要分为两种方式：
- 不放回抽样 (Sampling without replacement)：每次抽出的个体不再放回总体。这与第 1 类问题（直接用定义）中的例子是同一模型，是超几何分布的原型。
  - 基本事件总数： $C_{N}^{n}$ (不考虑顺序) 或 $P_{N}^{n}$ (考虑顺序)。
  - 模型：从 $N$ 件产品（其中 $M$ 件为次品）中随机抽取 $n$ 件，抽到 $k$ 件次品的概率为： $P (X = k) = \frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}}$
  - 在不放回抽样中，一个非常重要且常被考察的性质是：每次抽到“特定类别”个体的概率是相等的，与抽取的次序无关。
    - 结论：设袋中有 $N$ 个球，其中 $M$ 个是白球， $N - M$ 个是黑球。采用不放回抽样，记事件 $A_{k}$ 为“第 $k$ 次抽到白球”，则对任意 $k = 1, 2, \dots, N$ ，都有：
$P (A_{k}) = \frac{M}{N}$
```
     *   **直观理解（对称性）**：可以想象将 $N$ 个球随机排成一列。由于每个球出现在任何一个位置的概率是均等的，所以第 $k$ 个位置是白球的概率，就等于任意一个位置是白球的概率，即总体中白球的比例 $\frac{M}{N}$。
```
- 放回抽样 (Sampling with replacement)：每次抽出的个体记录后放回总体，下次抽样仍在原总体中进行。各次抽取相互独立。这是二项分布的原型。
  - 基本事件总数： $N^{n}$ (每次都有 $N$ 种选择)。
  - 模型：从 $N$ 件产品（其中 $M$ 件为次品）中有放回地抽取 $n$ 次，抽到 $k$ 件次品的概率为：
    - 每次抽到次品的概率为 $p = \frac{M}{N}$ ，抽到正品的概率为 $1 - p$ 。
    - 在 $n$ 次抽取中，有 $k$ 次抽到次品，相当于在 $n$ 次试验中，“成功”发生了 $k$ 次。选出哪 $k$ 次是次品，有 $C_{n}^{k}$ 种方法。
    - 概率为： $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} = C_{n}^{k} (\frac{M}{N})^{k} (1 - \frac{M}{N})^{n - k}$

几何概型

当随机试验的样本空间是某个可度量的几何区域（如线段、平面、空间体），且每个样本点落入该区域内任何一个子区域的可能性与该子区域的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与子区域的位置和形状无关时，该概率模型称为几何概型。

若事件 $A$ 对应样本空间 $Ω$ 中的一个子区域 $S_{A}$ ，则事件 $A$ 的概率为：

P (A) = \frac{μ ( S _{A} )}{μ ( Ω )}

其中 $μ$ 代表度量（长度、面积、体积等）。

性质

由概率的公理化定义可以推导出以下常用性质：

$P (\emptyset) = 0$ 。
有限可加性：若 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 两两互不相容，则 $P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$ 。
有界性：对于任意事件 $A$ ，有 $0 \leq P (A) \leq 1$ 。
单调性：若 $A \subset B$ ，则 $P (B - A) = P (B) - P (A)$ ，且 $P (A) \leq P (B)$ 。

公式

逆事件概率公式

事件 $A$ 的对立事件记为 $\overset{ˉ}{A}$ 。

P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})

加法公式

对任意两个事件 $A, B$ ： $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)$
对任意三个事件 $A, B, C$ ： $P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (BC) + P (A BC)$

减法公式

P (A - B) = P (A \overset{ˉ}{B}) = P (A) - P (A B)

条件概率公式

条件概率 $P (A ∣ B)$ 是指在事件 $B$ 已经发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率。其计算公式为：

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} (其中 P (B) > 0)

乘法公式

由条件概率公式变形得到：

对于任意两个事件 $A, B$ ，若 $P (B) > 0, P (A) > 0$ ： $P (A B) = P (B) P (A ∣ B) = P (A) P (B ∣ A)$
推广到 $n$ 个事件 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，若 $P (A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1}) > 0$ ： $P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1})$

全概率公式

设 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 是样本空间 $Ω$ 的一个划分，即它们两两互不相容（ $B_{i} B_{j} = \emptyset, i \neq = j$ ）且它们的并集为全集（ $⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω$ ），并且 $P (B_{i}) > 0$ 。则对任意事件 $A$ ，有：

P (A) = i = 1 \sum n P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})

该公式常用于“由因知果”，即已知导致事件 $A$ 发生的各种原因 $B_{i}$ 的概率，以及在各原因下事件 $A$ 发生的条件概率，求事件 $A$ 最终发生的概率。

贝叶斯公式

设 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 是样本空间 $Ω$ 的一个划分，并且 $P (A) > 0, P (B_{i}) > 0$ 。则：

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( B _{i} A )}{P ( A )} = \frac{P ( B _{i} ) P ( A ∣ B _{i} )}{\sum _{j = 1}^{n} P ( B _{j} ) P ( A ∣ B _{j} )}

该公式常用于“执果索因”，即已知事件 $A$ 已经发生（“果”），反过来推断它是由哪个原因 $B_{i}$ （“因”）引起的概率。 $P (B_{i})$ 称为先验概率， $P (B_{i} ∣ A)$ 称为后验概率。

Okay, three, two, one, let's jam

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