一维离散型随机变量

如果随机变量 $X$ 的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称 $X$ 为离散型随机变量。

分布律

设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_k$ ($k=1,2,\dots$)，且事件 $X=x_k$ 的概率为 $P\{X=x_k\}=p_k$。则称此为离散型随机变量 $X$ 的概率分布或分布律（Probability Mass Function, PMF）。

分布律常用两种形式表示：

1. 表格形式

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	$\cdots$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$\cdots$

2. 矩阵形式 \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n & \cdots \\ p_1 & p_2 & \cdots & p_n & \cdots \end{pmatrix} $$

性质

分布律 $P\{X=x_k\}=p_k$ 具有以下两个基本性质：

1. 非负性：$p_k\ge 0$ ($k=1,2,\dots$)。
2. 归一性：${\sum }_{k=1}^{\infty }{p}_k=1$。

这两个性质是判断一个数列能否成为某个随机变量的分布律的充要条件。

分布

0-1 分布

0-1 分布（或称两点分布、伯努利分布）是只进行一次伯努利试验，结果只有两个，通常记为“成功”($X=1$) 和“失败”($X=0$)。若“成功”的概率为 $p$，则“失败”的概率为 $1-p$。

分布律为 $P\{X=k\}=p^k(1-p{)}^{1-k}$，$k=0,1$

$$X\sim \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1-p& p\end{array}\right)$$

记作 $X\sim B(1,p)$ 或 $X\sim Bernoulli(p)$。

二项分布

二项分布描述了 $n$ 次独立重复的伯努利试验中，“成功”事件发生的次数。设每次试验中“成功”的概率为 $p$，则在 $n$ 次试验中，“成功”恰好发生 $k$ 次的概率为： $P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$ 记作 $X\sim B(n,p)$。当 $n=1$ 时，二项分布即为 0-1 分布。

泊松分布

泊松分布常用来描述在单位时间（或单位面积、空间）内，某随机事件发生的次数。其概率分布为： $P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$ 其中 $\lambda >0$ 是一个常数，表示单位时间（或空间）内事件发生的平均次数。记作 $X\sim P(\lambda )$ 或 $X\sim \pi (\lambda )$。

泊松定理

当二项分布 $B(n,p)$ 中，$n$ 很大，$p$ 很小，而乘积 $np=\lambda$ 适中时，二项分布可以用泊松分布 $P(\lambda )$ 来近似。

$C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}\approx \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(\text{其中 }\lambda =np)$

这一结论称为泊松定理。

几何分布

几何分布描述了在独立重复的伯努利试验中，为取得第一次成功所需进行的试验次数 $X$。设每次试验成功的概率为 $p$。 $P\{X=k\}=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$ 记作 $X\sim G(p)$。

几何分布具有无记忆性，即：

$P\{X>m+n\mid X>m\}=P\{X>n\}$

超几何分布

超几何分布描述了从一个有限总体中进行不放回抽样时，抽出的样本中具有某种特征的个体数。 设 $N$ 件产品中有 $M$ 件次品，现从中不放回地抽取 $n$ 件，则抽到 $k$ 件次品的概率为： $P\{X=k\}=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ 其中 $k$ 的取值范围是 $\max \{0,n-(N-M)\}\le k\le \min \{n,M\}$。记作 $X\sim H(n,M,N)$。

与二项分布的联系：当总体容量 $N$ 很大时，不放回抽样近似于放回抽样。此时，超几何分布可以用二项分布 $B(n,p)$ 近似，其中 $p=M/N$。

分布函数

对于离散型随机变量 $X$，其分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）定义为 $F(x)=P\{X\le x\}$。具体计算公式为：

$F(x)=P\{X\le x\}={\sum }_{x_k\le x}P\{X=x_k\}$

离散型随机变量的分布函数 $F(x)$ 是一个右连续的阶梯函数。在 $X$ 的每个可能取值 $x_k$ 处发生跳跃，跳跃的高度为该点的概率 $p_k=P\{X=x_k\}$。

$p_k=P\{X=x_k\}=P\{X\le x_k\}-P\{X<x_k\}=F(x_k)-F(x_k-0)$

其中 $F(x_k-0)$ 表示 $F(x)$ 在 $x_k$ 点的左极限。

对于任意实数 $a<b$，有：

$P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a)$

应用

例题

[问答题]

已知随机变量 $X$ 的概率分布为

$X$	1	2	3
$P\{X=k\}$	${\theta }^2$	$2\theta (1-\theta )$	$(1-\theta {)}^2$

且 $P\{X\ge 2\}=\frac{3}{4}$，求未知参数 $\theta$ 与 $X$ 的分布函数 $F(x)$。

[答案]

解： 首先，根据分布律的归一性，有 ${\theta }^2+2\theta (1-\theta )+(1-\theta {)}^2=[\theta +(1-\theta ){]}^2=1^2=1$ 这表明对于任意 $\theta$，这都是一个合法的分布。 由题设条件 $P\{X\ge 2\}=\frac{3}{4}$，得 $P\{X=2\}+P\{X=3\}=2\theta (1-\theta )+(1-\theta {)}^2=\frac{3}{4}$ 化简得 $(1-\theta )[2\theta +(1-\theta )]=(1-\theta )(1+\theta )=1-{\theta }^2=\frac{3}{4}$ 解得 ${\theta }^2=\frac{1}{4}$，所以 $\theta =\pm \frac{1}{2}$。 由于概率值必须非负，即 ${\theta }^2\ge 0$, $2\theta (1-\theta )\ge 0$, $(1-\theta {)}^2\ge 0$，这要求 $\theta \in [0,1]$。 故舍去 $\theta =-\frac{1}{2}$，取 $\theta =\frac{1}{2}$。

将 $\theta =\frac{1}{2}$ 代入分布律，得到 $X$ 的概率分布为：

$X$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

由此可得 $X$ 的分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$:

$$\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ \frac{1}{4},& 1\le x<2\\ \frac{3}{4},& 2\le x<3\\ 1,& x\ge 3\end{array}$$