浮点数的规格化

默认情况下，同一浮点数可能有多种表示形式。即可能有多种阶码和尾数的组合表示同一数字。
通常要求浮点数在数据表示时对尾数进行规格化处理，即使得尾数的最高数值位必须是一个有效值。
好处
- 使浮点数形式唯一
- 使浮点数精度最高

规格化方法

规格化：将浮点数的尾数调整到特定范围，使每个数值都只有唯一的浮点表示形式。
左规：当浮点数运算结果的尾数不满足规格化要求时，将尾数向左移动，同时阶码相应减小。
- 条件：
  - 对于原码/反码表示：尾数小数点后的第一位为 0时（如 0.0xxxx…），需要左规。
  - 对于补码表示：需要判断对应原码是否已规格化。
    - 如对于 $2^{11} \times 1.1011$ ，先转扫描法为原码 $1.0101$ ，发现未规格化
    - 规格化后原码为 $2^{10} \times 1.1010$ ，即补码为 $2^{10} \times 1.0110$
  - 单符号位应满足
    - 原码：0.1xxx 或 1.1xxx
    - 补码：0.1xxx 或 1.0xxx（即前两位互异原则）
  - 双符号位应满足
    - 原码：00.1xxx 或 11.1xxx
    - 补码：00.1xxx 或 11.0xxx（即第二三位互异原则）
- 操作：
  - 尾数左移一位，阶码减 1。
  - 重复此过程，直到尾数满足规格化要求（例如，原码尾数小数点后第一位为 1，或补码尾数符号位与数值位不同）。
右规：当浮点数运算结果的尾数发生溢出（即尾数绝对值大于等于 1，小数点左边有非零位）时，将尾数向右移动，同时阶码相应增大。
- 条件：通常发生在浮点数加减运算后，尾数和的绝对值大于等于 1。例如，补码双符号位表示中，尾数出现 01.xxxx… 或 10.xxxx… 的形式。
- 操作：
  - 尾数右移一位，阶码加 1。
  - 重复此过程，直到尾数满足规格化要求（即尾数绝对值小于 1，小数点左边只有符号位）。
- 影响：最右边的有效数字可能会丢失，导致精度损失，但这是为了将数值调整到可表示的范围内。
基数 r 对数的表示范围和精度的影响
- 在阶码位数固定的情况下，基数 r 越大，浮点数的表示范围越大。
  - 阶码每增加（或减少）1，实际数值的变化是 r 倍。基数越大，阶码相同的变化量能表示的数值范围跨度越大。
- 在尾数位数固定的情况下，基数 r 越大，浮点数的相对精度越低。
  - 相对精度：基数越大，尾数每移动一位，其代表的数值变化量就越大（例如，基数 2 时尾数一位代表 1/2，基数 16 时尾数一位代表 1/16）。这意味着在相同的尾数位数下，相邻两个可表示的浮点数之间的间隔会更大，数值的密集程度下降，从而导致相对精度降低。
  - 尾数利用率：基数越大，尾数中可能出现更多的前导零（例如，基数 16 时，一个十六进制位相当于四个二进制位，如果这个十六进制位是 1，则二进制表示为 0001，前导零较多），导致尾数位的有效利用率降低。

浮点数规格化后的表示范围

类别	表达式（非规格化）	表达式（规格化）	说明
最小负数	$2^{(2^{k} - 1)} \times (- (1 - 2^{- n}))$	$2^{(2^{k} - 1)} \times (- (1 - 2^{- n}))$	数值最小的负数
最大负数	$2^{- (2^{k} - 1)} \times (- 2^{- n})$	$2^{- (2^{k} - 1)} \times (- 2^{- 1})$	数值最大（最接近 0 ）负数
最小正数	$2^{- (2^{k} - 1)} \times 2^{- n}$	$2^{- (2^{k} - 1)} \times 2^{- 1}$	数值最小的正数
最大正数	$2^{(2^{k} - 1)} \times (1 - 2^{- n})$	$2^{(2^{k} - 1)} \times (1 - 2^{- n})$	数值最大的正数
上溢	超出最大正数或小于最小负数的范围	超出最大正数或小于最小负数的范围	无法正常表示的过大数值
下溢	绝对值小于最小正数或大于最大负数的绝对值	绝对值小于最小正数或大于最大负数的绝对值	通常当作 0 处理

例题

注意不同基数对规格化的要求不同