31 不定积分

不定积分的概念

原函数的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果存在函数 $F(x)$，使得在区间 $I$ 上有

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

不定积分的定义

函数 $f(x)$ 的不定积分是 $f(x)$ 的全体原函数，记作

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，$C$ 是任意常数，称为积分常数。

原函数存在定理

定理：连续函数一定有原函数。

注意：

• 有原函数的函数不一定连续
• 不连续函数也可能有原函数
• 有第一类间断点的函数没有原函数

不定积分的性质

1. 微分与积分的互逆性：

   • $\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x)$
   • $\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$
   • $\int dF(x)=F(x)+C$

2. 线性性质：

   • $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
   • $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ (其中 $k$ 为常数)

基本积分公式

基本函数的积分

1. $\int 0dx=C$

2. $\int 1dx=x+C$

3. $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (其中 $n\ne -1$)

4. $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

5. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (其中 $a>0,a\ne 1$)

6. $\int e^{x}dx=e^x+C$

三角函数的积分

7. $\int \sin xdx=-\cos x+C$

8. $\int \cos xdx=\sin x+C$

9. $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

10. $\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

11. $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

12. $\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

13. $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

14. $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

15. $\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

16. $\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

反三角函数的积分

17. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

18. $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$

19. $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcsec}|x|+C$

双曲函数的积分

20. $\int \sinh xdx=\cosh x+C$

21. $\int \cosh xdx=\sinh x+C$

换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

基本思想：将复合函数的积分转化为基本积分公式。

公式：$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(u)du{|}_{u=\phi (x)}$

常用凑微分公式：

• $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$
• $\int f(x^n)x^{n-1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^n)d(x^n)$
• $\int f(\ln x)\frac{1}{x}dx=\int f(\ln x)d(\ln x)$
• $\int f(e^x)e^{x}dx=\int f(e^x)d(e^x)$
• $\int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$
• $\int f(\cos x)\sin xdx=-\int f(\cos x)d(\cos x)$
• $\int f(\tan x){\sec }^{2}xdx=\int f(\tan x)d(\tan x)$

第二类换元法

基本思想：通过变量替换简化被积函数。

步骤：

1. 令 $x=\phi (t)$，其中 $\phi (t)$ 单调可导
2. 计算 $dx={\phi }^{\prime }(t)dt$
3. 代入得 $\int f(x)dx=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$
4. 计算右边积分
5. 将结果中的 $t$ 用 $x$ 表示

常用替换：

• 根式替换：$\sqrt[n]{ax+b}$ 令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$
• 三角替换：
  • $\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$
  • $\sqrt{x^2+a^2}$ 令 $x=a\tan t$
  • $\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$
• 倒数替换：$x=\frac{1}{t}$

分部积分法

公式：$\int udv=uv-\int vdu$

选择 $u$ 和 $dv$ 的原则：

• LIATE 原则：按优先级选择 $u$
  • Logarithmic functions (对数函数)
  • Inverse trigonometric functions (反三角函数)
  • Algebraic functions (代数函数)
  • Trigonometric functions (三角函数)
  • Exponential functions (指数函数)

常见类型：

1. $\int x^n{e}^{ax}dx$ 类型
2. $\int x^n\sin (ax)dx$, $\int x^n\cos (ax)dx$ 类型
3. $\int x^n\ln xdx$ 类型
4. $\int e^{ax}\sin (bx)dx$, $\int e^{ax}\cos (bx)dx$ 类型

有理函数的积分

有理函数的定义

有理函数是两个多项式的比值：$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

部分分式分解

真分式的分解：

1. 一次因式 $(x-a{)}^k$：

   $$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a{)}^k}$$

2. 二次因式 $(x^2+px+q{)}^k$ (其中 $p^2-4q<0$)：

   $$\frac{B_{1}x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_{2}x+C_2}{(x^2+px+q{)}^2}+\cdots +\frac{B_{k}x+C_k}{(x^2+px+q{)}^k}$$

基本积分类型

1. $\int \frac{1}{x-a}dx=\ln |x-a|+C$

2. $\int \frac{1}{(x-a{)}^n}dx=\frac{1}{(1-n)(x-a{)}^{n-1}}+C$ (其中 $n\ne 1$)

3. $\int \frac{x}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+a^2)+C$

4. $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

常见积分技巧

三角函数积分

1. ${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$ 型：

   • 若 $m$ 或 $n$ 为奇数，分离一个因子凑微分
   • 若 $m$, $n$ 均为偶数，用降幂公式

2. 万能替换：$t=\tan \frac{x}{2}$

   • $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$
   • $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
   • $dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

根式积分

1. $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ 型：配方后三角替换

2. $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 型：令根式等于 $t$

特殊函数积分

1. 分段函数：分段积分

2. 含绝对值函数：去绝对值后分段积分

重要结论与注意事项

重要结论

1. 奇偶性：

   • 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $\int f(x)dx$ 为偶函数
   • 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $\int f(x)dx$ 为奇函数（当积分常数为0时）

2. 周期性：

   • 若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 ${\int }_0^{T}f(x)dx=0$ 当且仅当 $\int f(x)dx$ 也以 $T$ 为周期

常见错误

1. 忘记加积分常数 $C$

2. 凑微分时系数错误

3. 换元后忘记换回原变量

4. 分部积分选择 $u$ 和 $dv$ 不当

5. 三角替换时定义域处理不当

典型例题

例题1：凑微分法

题目：计算 $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

解：

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d(1-x^2)=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}+C=-\sqrt{1-x^2}+C$$

例题2：分部积分法

题目：计算 $\int x{e}^{x}dx$

解： 令 $u=x$, $dv=e^{x}dx$，则 $du=dx$, $v=e^x$

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$$

例题3：三角替换

题目：计算 $\int \sqrt{1-x^2}dx$

解： 令 $x=\sin t$，则 $dx=\cos tdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$

$$\int \sqrt{1-x^2}dx=\int {\cos }^{2}tdt=\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C$$ $$=\frac{\arcsin x}{2}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$$