32 定积分

定积分的概念

定积分的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，将区间 $[a,b]$ 任意分割为 $n$ 个小区间：

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$$

记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$\lambda =\max \{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots ,\Delta x_n\}$。

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i$，作和式：

$$S=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

如果当 $\lambda \to 0$ 时，上述和式的极限存在且与分割方式和 ${\xi }_i$ 的选取无关，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，记作：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

其中：

• $a$ 称为积分下限
• $b$ 称为积分上限
• $f(x)$ 称为被积函数
• $x$ 称为积分变量
• $[a,b]$ 称为积分区间

定积分存在的充分条件

定理1：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分存在。

定理2：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分存在。

定积分的几何意义

当 $f(x)\ge 0$ 时，${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 和 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。

当 $f(x)$ 有正有负时，定积分等于 $x$ 轴上方的面积减去 $x$ 轴下方的面积。

定积分的性质

基本性质

1. 线性性质：

   $${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$$

2. 区间可加性：

   $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

   （其中 $c$ 可以在区间 $[a,b]$ 内外）

3. 积分上下限交换：

   $${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$

4. 积分上下限相等：

   $${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

积分不等式

5. 保号性：若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$

6. 单调性：若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$

7. 绝对值不等式：

   $$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$

8. 估值定理：设 $m\le f(x)\le M$ 在 $[a,b]$ 上成立，则：

   $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$

积分中值定理

定理：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

几何意义：存在一个矩形，其面积等于曲边梯形的面积。

推广形式：若 $f(x)$、$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ 不变号，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$

牛顿-莱布尼茨公式

变上限积分函数

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则函数

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

称为变上限积分函数。

性质：

1. $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$（即 $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$）

牛顿-莱布尼茨公式

定理：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任一原函数，则：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$$

意义：建立了定积分与不定积分的联系，将定积分的计算转化为求原函数。

定积分的计算方法

换元积分法

第一类换元法： 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x=\phi (t)$ 满足：

1. $\phi (\alpha )=a$，$\phi (\beta )=b$
2. $\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$（或 $[\beta ,\alpha ]$）上单调连续可导
3. ${\phi }^{\prime }(t)$ 连续且不变号

则：

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

第二类换元法：

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\psi (a)}^{\psi (b)}f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

其中 $t=\psi (x)$ 是 $x=\phi (t)$ 的反函数。

分部积分法

若 $u(x)$、$v(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，则：

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

或写成：

$${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

定积分的重要公式

对称区间上的积分

1. 奇函数：若 $f(x)$ 为奇函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

2. 偶函数：若 $f(x)$ 为偶函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

周期函数的积分

若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则：

1. ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$

2. ${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx$（$n$ 为正整数）

三角函数的积分公式

1. 华里士公式：

   $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}& n\text{为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{为奇数}\end{array}$$

2. 点火公式：

   $$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$

重要的定积分值

1. ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{1+{\tan }^{\alpha }x}=\frac{\pi }{4}$（$\alpha >0$）

2. ${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$

3. ${\int }_0^{2\pi }f(\sin x,\cos x)dx=2{\int }_0^{\pi }f(\sin x,\cos x)dx$（当 $f$ 关于两个变量都是偶函数时）

反常积分

无穷限的反常积分

1. 定义：

   $${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$$ $${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$$ $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx+{\int }_c^{+\infty }f(x)dx$$

2. 收敛判别法：

   • 比较判别法：若 $0\le f(x)\le g(x)$，且 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛
   • 极限判别法：若 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=l$（$0<l<+\infty$），则两个积分同时收敛或发散

无界函数的反常积分

若函数 $f(x)$ 在点 $x=b$ 处无界，则：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$$

典型例题

例题1：利用对称性计算定积分

题目：计算 ${\int }_{-2}^2\frac{x^3\sin x}{1+x^2}dx$

解： 设 $f(x)=\frac{x^3\sin x}{1+x^2}$

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^3\sin (-x)}{1+(-x{)}^2}=\frac{-x^3(-\sin x)}{1+x^2}=\frac{x^3\sin x}{1+x^2}=f(x)$$

所以 $f(x)$ 为偶函数，但分子 $x^3\sin x$ 为奇函数，分母 $1+x^2$ 为偶函数，所以整体为奇函数。

因此：${\int }_{-2}^2\frac{x^3\sin x}{1+x^2}dx=0$

例题2：换元积分法

题目：计算 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$

解： 设 $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$

令 $x=\frac{\pi }{2}-t$，则 $dx=-dt$，当 $x=0$ 时 $t=\frac{\pi }{2}$，当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时 $t=0$

$$I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-t)}{\sin (\frac{\pi }{2}-t)+\cos (\frac{\pi }{2}-t)}(-dt)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos t}{\cos t+\sin t}dt$$

因此：

$$2I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx=\frac{\pi }{2}$$

所以：$I=\frac{\pi }{4}$

例题3：分部积分法

题目：计算 ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$

解： 令 $u=x$，$dv=e^{x}dx$，则 $du=dx$，$v=e^x$

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e^x{|}_0^1)=e-(e-1)=1$$