23 极限存在、导数存在和连续的关系

本节主要讨论函数在一点处极限存在、连续以及导数存在这三个重要概念之间的关系，并通过比较这些概念的定义和性质来深入理解它们。

概念定义

• 函数极限的存在

  函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在，记作 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，是指当 $x$ 无限接近 $x_0$ (但 $x\ne x_0$) 时，$f(x)$ 的值无限接近于常数 $A$。

  等价条件是左极限和右极限均存在且相等：${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$。

• 函数连续

  函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，需要满足以下三个条件：

  1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义，即 $f(x_0)$ 存在。
  2. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在。
  3. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。 简单来说，连续性要求函数在 $x_0$ 处的极限值等于函数值。

• 函数可导

  函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，是指导数 $f^{\prime }(x_0)$ 存在。

  导数的定义是：

  $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。

  等价条件是左导数和右导数均存在且相等：$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$。

  其中，左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。

三者之间的联系与区别（重要考点）

以下表格总结了极限存在、连续和可导之间的重要关系：

性质	条件	结论	备注
可导性与连续性	$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导	$⟹f(x)$ 在 $x_0$ 处连续	可导一定连续，连续不一定可导。例如，$y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导。
连续性与极限存在	$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续	$⟹{\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$	连续是极限存在并且极限值等于函数值的特殊情况。
极限存在性与连续性	${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在	$/⟹f(x)$ 在 $x_0$ 处连续	极限存在不一定连续。例如，$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$ 在 $x=0$ 处极限存在 (${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$)，但不连续。

重要辨析:

• 区别 $f_{-}^{\prime }(x_0)$, $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 均存在和 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }(x)$。

  1. $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 和 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 均存在：这表示函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左右导数都存在且有限。如果它们相等，则称函数在 $x_0$ 处可导。

     • $f_{-}^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
     • $f_{+}^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 需要注意的是，计算左右导数时，被求导的函数 $f(x)$ 的表达式通常是与 $x_0$ 相关的分段函数。

  2. ${\lim }_{x\to x_0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }(x)$：这表示导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在。这意味着在 $x_0$ 的左侧和右侧，导函数 $f^{\prime }(x)$ 的值分别趋近于同一个极限。

     • 这个条件通常用于检验导函数本身的连续性，而不是原函数的可导性。
     • 这条结论是**拉格朗日中值定理推论（达布定理的特例）**的逆命题：如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$。
     • 注意： 即使 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }(x)$ 且此极限存在，如果 $f(x)$ 不在 $x_0$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不一定可导。 例如，考虑函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$。 其导函数 $f^{\prime }(x)=2x$ (当 $x\ne 0$ 时)。 此时 ${\lim }_{x\to 0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}2x=0$ 且 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}2x=0$。 所以 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)=0$ 存在。 然而，$f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，因为 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1\ne f(0)=0$。 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。

• 总结：

  • $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $⟺f(x)$ 在 $x_0$ 处连续且 $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$ 存在。
  • 如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$ 存在，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$。 这是计算分段函数导数在分界点处的重要结论，通常称为“左右导数极限相等法”或“利用导数的极限”，但其前提是函数本身在该点连续。

可导性判别方法

1. 根据导数定义判别： 直接计算 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 和 $f_{+}^{\prime }(x_0)$，若两者存在且相等，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

   $$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

2. 利用导数极限判别（重要推论）： 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}{f}^{\prime }(x)$ 和 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }(x)$ 都存在且相等，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并且 $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$。

   • 步骤：
     1. 先判断 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否连续。
     2. 计算 $f^{\prime }(x)$ (通常在分段函数定义域内)。
     3. 计算 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}{f}^{\prime }(x)$ 和 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }(x)$。
     4. 若左右极限相等，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime }(x_0)$ 等于此极限值。

3. 几何意义： 函数可导即曲线在 $x_0$ 处存在不垂直于 $x$ 轴的切线。

   • 若左导数和右导数存在但不相等，则在 $x_0$ 处形成一个“尖点”，例如 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处。
   • 若导数值趋于无穷或不存在，则可能为“铅垂切线”或“振荡不可导”。

4. 易错点分析

• 错误观点： 只要 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$ 存在，$f(x)$ 就在 $x_0$ 处可导。 纠正： 这是错误的。必须增加 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的前提条件。

• 错误观点： 导函数的极限存在等价于原函数在该点可导。 纠正： 不等价。前者是 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处的极限，后者是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数。两者只有在 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续时才等价。

• 连续是可导的必要不充分条件。

  • 连续 $/⟹$ 可导 (例如，尖点函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处)。
  • 可导 $⟹$ 连续。

理解这些关系对于解决高等数学中的分段函数可导性、极限计算和概念辨析题至关重要。