线代条件挖掘

行 (列) 和相等

若 $n$ 阶方阵 $A$ 的行和均为常数 $k$ (即 $A$ 的每行元素之和均为 $k$ )，则 $k$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，其对应的特征向量为 $\alpha =(1,1,\dots ,1{)}^T$。

推导: 将矩阵 $A$ 右乘列向量 $\alpha =(1,1,\dots ,1{)}^T$，所得向量的第 $i$ 个分量即为 $A$ 的第 $i$ 行元素之和，也就是 $k$。 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\\ k\\ ⋮\\ k\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$ 根据特征值和特征向量的定义，结论成立。

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若 $n$ 阶方阵 $A$ 的列和均为常数 $k$，则 $k$ 也是矩阵 $A$ 的一个特征值。

推导: 矩阵 $A$ 的列和为 $k$ 等价于其转置矩阵 $A^T$ 的行和为 $k$。根据上一条结论，$k$ 是 $A^T$ 的一个特征值。由于一个矩阵和它的转置矩阵有相同的特征多项式，即 $|\lambda I-A|=|(\lambda I-A{)}^T|=|\lambda I-A^T|$，因此它们具有相同的特征值。所以 $k$ 也是 $A$ 的一个特征值。

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若 $n$ 阶方阵 $A$ 的行和为 $k$ ($k\ne 0$ 且 $A$ 可逆)，则其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的行和为 $\frac{|A|}{k}$。

推导: 已知 $A\alpha =k\alpha$，其中 $\alpha =(1,1,\dots ,1{)}^T$。 又因为 $A^{\ast }A=|A|I$，在此式两边同时右乘 $\alpha$，可得： $(A^{\ast }A)\alpha =(|A|I)\alpha$ $A^{\ast }(A\alpha )=|A|\alpha$ 将 $A\alpha =k\alpha$ 代入，得： $A^{\ast }(k\alpha )=|A|\alpha$ $k(A^{\ast }\alpha )=|A|\alpha$ 由于 $k\ne 0$，所以： $A^{\ast }\alpha =\frac{|A|}{k}\alpha$ 这表明 $A^{\ast }$ 的行和为 $\frac{|A|}{k}$。同理，若 $A$ 的列和为 $k$，则 $A^{\ast }$ 的列和为 $\frac{|A|}{k}$。

矩阵方程与向量方程

形如 $AB=kB$ 的条件，其中 $A,B$ 为矩阵，$k$ 为常数。

挖掘: 设矩阵 $B$ 的列向量组为 $B=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m)$。 $AB=A({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m)=(A{\beta }_1,A{\beta }_2,\dots ,A{\beta }_m)$ $kB=k({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m)=(k{\beta }_1,k{\beta }_2,\dots ,k{\beta }_m)$ 因此，$AB=kB$ 等价于 $A{\beta }_j=k{\beta }_j$ 对所有 $j=1,\dots ,m$ 成立。 结论： 若 $B$ 的某个列向量 ${\beta }_j\ne 0$，则 ${\beta }_j$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $k$ 的一个特征向量。

特例： $AB=O$ 若 $B$ 的某个列向量 ${\beta }_j\ne 0$，则 $A{\beta }_j=0=0{\beta }_j$。这意味着 $0$ 是 $A$ 的一个特征值，${\beta }_j$ 是对应的特征向量。同时，这也说明 $B$ 的非零列向量是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。

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形如 $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_n{\alpha }_n=\beta$ 的条件，其中 ${\alpha }_j$ 是矩阵 $A$ 的列向量。

挖掘: 设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$，$x=(c_1,c_2,\dots ,c_n{)}^T$。 向量的线性组合等价于矩阵与向量的乘积： $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_n{\alpha }_n=A\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)=Ax$ 结论：

• 若 $\beta =0$，则条件为 $Ax=0$，表明 $x$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个解。
• 若 $\beta \ne 0$，则条件为 $Ax=\beta$，表明 $x$ 是非齐次线性方程组 $Ax=\beta$ 的一个解。
• 核心考点： 若 $\beta$ 恰好是 $x$ 的 $k$ 倍，即 $\beta =kx$，则条件变为 $Ax=kx$。这直接给出了 $A$ 的一个特征值 $k$ 和对应的特征向量 $x$。

矩阵多项式

形如 $f(A)=O$ 的条件，其中 $f(x)$ 是一个多项式，例如 $A^2+A=O$。

定理： 设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，则 $f(\lambda )$ 是矩阵 $f(A)$ 的一个特征值。 推论： 若 $f(A)=O$ (零矩阵)，由于零矩阵的特征值只有 $0$，则对于 $A$ 的任意特征值 $\lambda$，必有 $f(\lambda )=0$。

结论： 矩阵 $A$ 的所有特征值，都必须是多项式方程 $f(x)=0$ 的根。

示例： 若矩阵 $A$ 满足 $A^2+A-2I=O$。

1. 构造多项式 $f(x)=x^2+x-2$。
2. 矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 必须满足多项式方程 $f(\lambda )=0$。
3. 求解方程 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$，即 $(\lambda +2)(\lambda -1)=0$。
4. 解得 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=1$。
5. 挖掘出的条件： 矩阵 $A$ 的特征值只能从 $-2$ 和 $1$ 中取。

例题

[选择题]

1. 设 A, B 为三阶方阵, Ax = 0 有非零解, B ≠ O, tr(A) = 1 且 AB + B = O, 则与 (A - E)* 相似的对角矩阵是 ( )

• A. $\left(\begin{array}{ccc}-1& & \\ & -1& \\ & & 2\end{array}\right)$
• B. $\left(\begin{array}{ccc}-2& & \\ & -2& \\ & & 1\end{array}\right)$
• C. $\left(\begin{array}{ccc}-2& & \\ & -1& \\ & & 2\end{array}\right)$
• D. $\left(\begin{array}{ccc}-2& & \\ & -1& \\ & & 1\end{array}\right)$

[答案]

1. 条件：$A$ 是三阶方阵，$Ax=0$ 有非零解。

   • 知识点应用： 根据笔记中 “矩阵方程与向量方程” 部分，$Ax=0$ 有非零解意味着 $A$ 是奇异矩阵，即 $|A|=0$。一个矩阵的行列式为零，当且仅当它至少有一个特征值为 $0$。
   • 结论：$A$ 的一个特征值为 ${\lambda }_1=0$。

2. 条件：$B\ne O$ 且 $AB+B=O$。

   • 知识点应用： 将方程变形为 $AB=-B$，即 $AB=(-1)B$。这符合笔记中 “矩阵方程与向量方程” 的 $AB=kB$ 形式，其中 $k=-1$。
   • 因为 $B$ 不是零矩阵，所以 $B$ 至少有一个列向量 ${\beta }_j\ne 0$。对于这个非零列向量，我们有 $A{\beta }_j=(-1){\beta }_j$。根据特征值的定义，这意味着 $-1$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值。
   • 结论：$A$ 的另一个特征值为 ${\lambda }_2=-1$。

3. 条件：$A$ 是三阶方阵且 $\text{tr}(A)=1$ (矩阵的迹为 1)。

   • 知识点应用： 矩阵的迹等于其所有特征值之和。
   • 设 $A$ 的三个特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$。我们有 $\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1$。
   • 将已求得的 ${\lambda }_1=0$ 和 ${\lambda }_2=-1$ 代入，得到 $0+(-1)+{\lambda }_3=1$。
   • 结论：$A$ 的第三个特征值为 ${\lambda }_3=2$。

至此，我们得到矩阵 $A$ 的全部特征值为 $0,-1,2$。

第二步：求解 $(A-E{)}^{\ast }$ 的特征值

1. 令矩阵 $C=A-E$ (其中 $E$ 是单位矩阵 $I$)。如果 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_i$，则 $C=A-E$ 的特征值为 ${\lambda }_i-1$。

   • $C$ 的特征值为:
     • ${\mu }_1={\lambda }_1-1=0-1=-1$
     • ${\mu }_2={\lambda }_2-1=-1-1=-2$
     • ${\mu }_3={\lambda }_3-1=2-1=1$
   • 所以，矩阵 $C=A-E$ 的特征值为 $-1,-2,1$。

2. 求解伴随矩阵 $C^{\ast }$ (即 $(A-E{)}^{\ast }$) 的特征值。

   • 重要性质： 若 $n$ 阶可逆矩阵 $C$ 的特征值为 ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n$，则其伴随矩阵 $C^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|C|}{{\mu }_1},\frac{|C|}{{\mu }_2},\dots ,\frac{|C|}{{\mu }_n}$。
   • 首先计算 $|C|$。矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。 $|C|={\mu }_1{\mu }_2{\mu }_3=(-1)\times (-2)\times 1=2$
   • 现在计算 $C^{\ast }$ 的特征值：
     • $\frac{|C|}{{\mu }_1}=\frac{2}{-1}=-2$
     • $\frac{|C|}{{\mu }_2}=\frac{2}{-2}=-1$
     • $\frac{|C|}{{\mu }_3}=\frac{2}{1}=2$
   • 因此，矩阵 $(A-E{)}^{\ast }$ 的特征值为 $-2,-1,2$。

第三步：确定相似的对角矩阵

一个矩阵若能对角化，其相似的对角矩阵的主对角线元素就是它的全部特征值。由于 $(A-E{)}^{\ast }$ 的三个特征值 $-2,-1,2$ 互不相同，它一定可以相似于一个对角矩阵。

该对角矩阵为：

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

或者对角线上元素的任意排列。

结论： 将此结果与选项比较，选项 C $\left(\begin{array}{ccc}-2& & \\ & -1& \\ & & 2\end{array}\right)$ 与我们的计算结果相符。

[问答题]

2. 设三阶实对称矩阵$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 且 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,1{)}^T$。又存在 $a$ 使得 $A^3+(a^5-1)A^2+2a^{3}A+aE=O$，$\text{tr}(A)=1$。则下列结论中正确的是

• 1. $r(A)=1$
• 2. $A$ 的特征值为 $0,0,1$
• 3. $A$ 与矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 2& \\ & & 0\end{array}\right)$ 合同
• 4. $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ 为 $Ax=0$ 的解

[答案]

1. 利用 $A$ 的列向量和

   • 条件：$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 且 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,1{)}^T$。
   • 知识点应用： 矩阵乘以向量 $(1,1,1{)}^T$ 的结果是其列向量的线性组合，系数为 $1,1,1$。 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot {\mathbf{\alpha }}_1+1\cdot {\mathbf{\alpha }}_2+1\cdot {\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
   • 上式可以写为 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$。根据特征值和特征向量的定义 $A\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }$，我们可知 ${\lambda }_1=1$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，其对应的特征向量为 ${\mathbf{\xi }}_1=(1,1,1{)}^T$。

2. 利用矩阵多项式

   • 条件： 存在 $a$ 使得 $A^3+(a^5-1)A^2+2a^{3}A+aE=O$。
   • 知识点应用： 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 满足该矩阵多项式对应的标量方程。 ${\lambda }^3+(a^5-1){\lambda }^2+2a^3\lambda +a=0$
   • 将已求得的特征值 ${\lambda }_1=1$ 代入： $1^3+(a^5-1)1^2+2a^3(1)+a=0$$1+a^5-1+2a^3+a=0$$a^5+2a^3+a=0$$a(a^4+2a^2+1)=0$$a(a^2+1{)}^2=0$
   • 由于该方程的实数解只有 $a=0$，我们得到 $a=0$。
   • 将 $a=0$ 代回原矩阵多项式，得到 $A^3-A^2=O$。
   • 因此，$A$ 的所有特征值 $\lambda$ 必须满足方程 ${\lambda }^3-{\lambda }^2=0$，即 ${\lambda }^2(\lambda -1)=0$。
   • 这说明 $A$ 的特征值只能从 $\{0,1\}$ 中取。

3. 利用矩阵的迹

   • 条件：$A$ 是三阶矩阵，$\text{tr}(A)=1$。
   • 知识点应用：矩阵的迹等于其所有特征值之和。设 $A$ 的三个特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$。 $\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1$
   • 结合前面的结论：我们已经确定一个特征值是 ${\lambda }_1=1$，其余特征值只能从 $\{0,1\}$ 中取。代入迹的公式： $1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1⟹{\lambda }_2+{\lambda }_3=0$
   • 由于 ${\lambda }_2,{\lambda }_3\in \{0,1\}$，满足 ${\lambda }_2+{\lambda }_3=0$ 的唯一可能是 ${\lambda }_2=0$ 和 ${\lambda }_3=0$。

结论： 矩阵 $A$ 的三个特征值为 $1,0,0$。

分析结论

1. $r(A)=1$

   • 知识点应用：矩阵的秩$r(A)$ 等于其非零特征值的个数（对于可对角化矩阵，如实对称矩阵）。
   • $A$ 的特征值为 $1,0,0$，只有一个非零特征值。
   • 因此，$r(A)=1$。该结论正确。

2. $A$ 的特征值为 $0,0,1$

   • 根据上述推导，这正是我们得到的结果。该结论正确。

3. $A$ 与矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 2& \\ & & 0\end{array}\right)$ 合同

   • 知识点应用： 两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数 (即 西尔维斯特惯性定理)。正 (负) 惯性指数是指正 (负) 特征值的个数。
   • 矩阵 $A$ 的特征值为 $1,0,0$。其正惯性指数为 1（一个正特征值），负惯性指数为 0，零特征值的个数为 2。
   • 矩阵 $B$ 是对角矩阵，其特征值为对角元 $1,2,0$。其正惯性指数为 2（两个正特征值），负惯性指数为 0，零特征值的个数为 1。
   • 由于两矩阵的惯性指数不同，它们不合同。该结论错误。

4. $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ 为 $Ax=0$ 的解

   • 知识点应用：$Ax=0$ 的非零解是矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda =0$ 的特征向量。
   • $A$ 是实对称矩阵，其对应于不同特征值的特征向量是正交的。
   • 我们已知 ${\lambda }_1=1$ 对应的特征向量是 ${\mathbf{\xi }}_1=(1,1,1{)}^T$。
   • $\lambda =0$ 对应的特征向量（即 $Ax=0$ 的解）必须与 ${\mathbf{\xi }}_1$ 正交。
   • 检验向量 $\mathbf{x}=(1,1,-2{)}^T$ 是否与 ${\mathbf{\xi }}_1$ 正交： ${\mathbf{x}}^T{\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+1\cdot 1+(-2)\cdot 1=1+1-2=0$
   • 由于 $\mathbf{x}$ 与 ${\mathbf{\xi }}_1$ 正交，且 $\mathbf{x}$ 是非零向量，所以 $\mathbf{x}$ 必定是属于其它特征值（这里是 $\lambda =0$）的特征空间中的向量。
   • 因此，$\mathbf{x}=(1,1,-2{)}^T$ 是 $A$ 对应于 $\lambda =0$ 的一个特征向量，满足 $A\mathbf{x}=0\mathbf{x}=0$。该结论正确。