矩阵相似

定义

设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得

$P^{-1}AP=B$

则称矩阵 $A$ 相似于矩阵 $B$，记为 $A\sim B$。该变换 $P^{-1}AP$ 称为对矩阵 $A$ 的相似变换，可逆矩阵 $P$ 称为过渡矩阵。

矩阵之间的相似关系是一种等价关系，满足：

1. 反身性: $A\sim A$
2. 对称性: 若 $A\sim B$，则 $B\sim A$
3. 传递性: 若 $A\sim B,B\sim C$，则 $A\sim C$

性质

若两个矩阵相似 ($A\sim B$)，它们将具有许多相同的不变量。

相似矩阵的不变量

• 秩相等：$r(A)=r(B)$
• 行列式相等：$|A|=|B|$
• 迹相等：$tr(A)=tr(B)$
• 特征多项式相同：$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
• 特征值相同
• 各阶主子式之和分别相等。这是因为特征多项式的系数由各阶主子式之和决定。

重要推论

• 注意：特征值相同是矩阵相似的必要不充分条件。例如，$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 和 $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 特征值相同，但它们不相似。

相似的运算性质

若 $A\sim B$，则：

• $A^T\sim B^T$ (转置矩阵也相似)
• $A^{\ast }\sim B^{\ast }$ (伴随矩阵也相似)
• 若 $A$ 可逆，则 $B$ 也可逆，且 $A^{-1}\sim B^{-1}$
• 对于任意正整数 $m$，有 $A^m\sim B^m$
• 对于任意多项式 $f(x)$，有 $f(A)\sim f(B)$

类型：$(A-aE)(A-bE)=O$

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵。如果存在两个不相等的常数 $a$ 和 $b$（即 $a\ne b$），使得下式成立：

$(A-aE)(A-bE)=O$

其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$O$ 是 $n$ 阶零矩阵，则矩阵 $A$ 一定可相似对角化。

证明

该命题的证明主要依赖于矩阵秩的性质以及矩阵可对角化的充要条件。

1. 利用秩的基本不等式

   首先，考虑两个矩阵 $X=A-aE$ 和 $Y=A-bE$。根据Sylvester 秩不等式：$r(X)+r(Y)\le n+r(XY)$。

   由题设条件 $(A-aE)(A-bE)=O$，我们有 $r((A-aE)(A-bE))=r(O)=0$。

   因此，我们可以得到第一个不等式：

   $r(A-aE)+r(A-bE)\le n$

   其次，利用另一个秩不等式：$r(M-N)\le r(M)+r(N)$。令 $M=A-aE$，$N=A-bE$，则：

   $r((A-aE)-(A-bE))\le r(A-aE)+r(A-bE)$

   计算左侧的矩阵：

   $(A-aE)-(A-bE)=A-aE-A+bE=(b-a)E$

   因为 $a\ne b$，所以 $b-a\ne 0$。因此，$(b-a)E$ 是一个非奇异对角矩阵，其秩为 $n$。

   即 $r((b-a)E)=n$。

   于是，我们得到第二个不等式：

   $n\le r(A-aE)+r(A-bE)$

2. 推导秩的等式关系

   综合上述两个不等式，我们有：

   $n\le r(A-aE)+r(A-bE)\le n$

   这表明不等式中的等号必须成立，即：

   $r(A-aE)+r(A-bE)=n$

3. 连接到可对角化条件

   矩阵 $A$可相似对角化的充要条件是：对 $A$ 的每一个特征值，其几何重数等于代数重数。

   由条件 $(A-aE)(A-bE)=O$ 可知，矩阵 $A$ 的最小多项式$m(\lambda )$ 整除多项式 $(\lambda -a)(\lambda -b)$。这意味着 $A$ 的特征值只可能为 $a$ 或 $b$。

   一个特征值 ${\lambda }_i$ 的几何重数定义为其对应特征子空间的维数，计算公式为 $n-r(A-{\lambda }_{i}E)$。

   我们来计算 $A$ 的特征值 $a$ 和 $b$ 的几何重数之和：

   令 $k_a$ 为特征值 $a$ 的几何重数， $k_b$ 为特征值 $b$ 的几何重数。

   $k_a=n-r(A-aE)$

   $k_b=n-r(A-bE)$

   两者相加得到：

   $k_a+k_b=(n-r(A-aE))+(n-r(A-bE))$

   $k_a+k_b=2n-(r(A-aE)+r(A-bE))$

   将第二步得到的结论 $r(A-aE)+r(A-bE)=n$ 代入上式，得：

   $k_a+k_b=2n-n=n$

   矩阵 $A$ 的代数重数之和等于矩阵的阶数 $n$。同时我们已经证明了其几何重数之和也为 $n$。

   又因为对任意特征值 ${\lambda }_i$，其几何重数 $k_i$ 不大于其代数重数 $r_i$（即 $k_i\le r_i$），所以必有 $k_a=r_a$ 且 $k_b=r_b$。

   因此，矩阵 $A$ 的所有特征值的几何重数都等于其代数重数，故 $A$可相似对角化。

例题

[选择题]

设三阶实矩阵 $A$ 的秩为二，若 $A$ 的列向量均为线性方程组 $(A-2E)x=0$ 的解，则 $A$ 相似于 ()

• (A) $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
• (B) $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
• (C) $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
• (D) $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

[答案]

答案： (A)

解析：

1. 解读题目条件

   • ”$A$ 是三阶实矩阵 ”：$A$ 是 $3\times 3$ 矩阵。
   • ”$A$ 的秩为二 ”：$r(A)=2$。对于 $n$ 阶矩阵 $A$，若 $r(A)<n$，则 $|A|=0$，这说明 $\lambda =0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值。
   • ”$A$ 的列向量均为线性方程组 $(A-2E)x=0$ 的解 “：设 $A$ 的列向量组为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$，即 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$。根据题意，有 $(A-2E){\alpha }_i=0$ ($i=1,2,3$)。这可以统一写作矩阵形式： $(A-2E)[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]=O$ 即： $(A-2E)A=O$

2. 确定特征值

   • 由 $(A-2E)A=O$ 可知，$A^2-2A=O$。因此矩阵 $A$ 的最小多项式$m(\lambda )$ 应整除多项式 ${\lambda }^2-2\lambda =\lambda (\lambda -2)$。
   • 矩阵 $A$ 的特征值必须是其最小多项式的根。因此，$A$ 的特征值只能从 $\{0,2\}$ 中选取。
   • 前面已知 $\lambda =0$ 是 $A$ 的一个特征值。由于 $A$ 是三阶矩阵，它有三个特征值（含重数）。因此，$A$ 的三个特征值为 $\{0,2,2\}$。

3. 判断可对角化性

   • 根据重要结论：若 $(A-aE)(A-bE)=O$ 且 $a\ne b$，则 $A$可相似对角化。本题中 $a=0,b=2$，满足该条件，因此 $A$ 可对角化。
   • 或者通过计算几何重数来判断：
     • 对于特征值 ${\lambda }_1=0$，其几何重数为 $3-r(A-0E)=3-r(A)=3-2=1$。其代数重数也为 1，二者相等。
     • 对于特征值 ${\lambda }_2=2$，其代数重数为 2。其几何重数为 $3-r(A-2E)$。
     • 根据性质 $r(A-0E)+r(A-2E)\le 3$，以及 $r((A-0E)-(A-2E))=r(2E)=3\le r(A-0E)+r(A-2E)$，可以推出 $r(A-0E)+r(A-2E)=3$。
     • 代入 $r(A)=2$，得到 $2+r(A-2E)=3$，所以 $r(A-2E)=1$。
     • 因此，${\lambda }_2=2$ 的几何重数为 $3-r(A-2E)=3-1=2$。
     • 由于所有特征值的几何重数均等于其代数重数，所以矩阵 $A$可相似对角化。

4. 结论

   • 矩阵 $A$ 可相似对角化，且其特征值为 $0,2,2$。
   • 因此，$A$ 相似于以其特征值为对角元素的对角矩阵。
   • $A\sim \Lambda =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

类型：构造相似

基本模型

给定一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 以及 $n$ 个 $n$ 维列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$。已知矩阵 $A$ 对这些向量的线性变换结果可以用这组向量自身来线性表示。

以 $n=3$ 为例，设有关系式：

$A{\alpha }_1=a_1{\alpha }_1+a_2{\alpha }_2+a_3{\alpha }_3$

$A{\alpha }_2=b_1{\alpha }_1+b_2{\alpha }_2+b_3{\alpha }_3$

$A{\alpha }_3=c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+c_3{\alpha }_3$

我们的目标是找到一个与 $A$相似的矩阵 $B$。

推导过程

1. 利用矩阵分块表示

   我们可以将上述三个独立的等式整合为一个矩阵方程。首先，将矩阵 $A$ 左乘在由向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 构成的矩阵上：

   $A[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]=[A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3]$

2. 代入线性表达式

   将右侧的 $A{\alpha }_i$ 用其线性表达式代入：

   $[A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3]=[a_1{\alpha }_1+a_2{\alpha }_2+a_3{\alpha }_3,b_1{\alpha }_1+b_2{\alpha }_2+b_3{\alpha }_3,c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+c_3{\alpha }_3]$

3. 矩阵乘法分解

   观察上式右端，可以发现它能够被分解为两个矩阵的乘积，即矩阵 $[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$ 与一个由系数构成的矩阵的乘积。

   $=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]$

   注意：$A{\alpha }_1$ 的系数 $(a_1,a_2,a_3{)}^T$ 构成了系数矩阵的第一列，同理，$A{\alpha }_2$ 和 $A{\alpha }_3$ 的系数分别构成第二列和第三列。

结论

通过上述推导，我们得到了一个核心的矩阵等式。若令 $P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$ 以及

$B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]$

则该等式可以写作：

$AP=PB$

根据相似矩阵的定义，如果矩阵 $P$ 是可逆的，那么 $A$ 就与 $B$ 相似。

矩阵 $P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$ 可逆的充要条件是其列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关。

当 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关时，$P$ 是可逆矩阵，我们可以在等式 $AP=PB$ 两边左乘 $P^{-1}$，得到相似变换关系式：

$P^{-1}AP=B$

这表明矩阵 $A$相似于矩阵 $B$。矩阵 $B$ 被称为线性变换 $A$ 在基$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$ 下的坐标矩阵。

例题

[问答题]

设三阶矩阵 $A$不可逆，$\alpha ,\beta$ 是两个线性无关的三维列向量，且 $A\alpha =\beta ,A\beta =\alpha$，则 $tr[(A+2E{)}^{\ast }]$ 为

[答案]

$tr[(A+2E{)}^{\ast }]=11$

说明：

1. 求 $A$ 的特征值 因为矩阵 $A$不可逆，所以 $A$ 必有特征值 ${\lambda }_1=0$。设其对应的特征向量为 $\gamma$，即 $A\gamma =0$。 由于 $\alpha ,\beta$线性无关，可以证明 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 也线性无关，因此可构成一个基。 根据题设 $A\alpha =\beta ,A\beta =\alpha ,A\gamma =0$，构造矩阵相似变换： $A[\alpha ,\beta ,\gamma ]=[A\alpha ,A\beta ,A\gamma ]=[\beta ,\alpha ,0]=[\alpha ,\beta ,\gamma ]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ 令 $P=[\alpha ,\beta ,\gamma ]$，$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$，则 $AP=PB$，即 $A$ 与 $B$相似。 相似矩阵有相同的特征值。$B$ 的特征值为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1$。因此 $A$ 的特征值为 $0,1,-1$。

2. 求 $A+2E$ 的特征值与行列式 若 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_i$，则 $A+2E$ 的特征值为 ${\lambda }_i+2$。 所以 $A+2E$ 的三个特征值为：$0+2=2$, $1+2=3$, $-1+2=1$。 矩阵的行列式等于其特征值的乘积，所以 $|A+2E|=2\times 3\times 1=6$。

3. 求 $tr[(A+2E{)}^{\ast }]$ 对于可逆矩阵 $M$，若其特征值为 ${\mu }_i$，则其伴随矩阵$M^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|M|}{{\mu }_i}$。 令 $M=A+2E$，其特征值为 $2,3,1$。 则 $M^{\ast }=(A+2E{)}^{\ast }$ 的特征值为：$\frac{6}{2}=3$, $\frac{6}{3}=2$, $\frac{6}{1}=6$。 矩阵的迹等于其特征值的和。 因此，$tr[(A+2E{)}^{\ast }]=3+2+6=11$。