IEEE 754 浮点数尾数隐藏位
IEEE 规格化浮点数中的尾数隐藏位（hidden bit）是 IEEE 754 浮点数表示标准中的一个重要特性，主要用于提高数值的有效精度。以下是详细解释：
IEEE 浮点数表示结构简述
IEEE 754 标准定义的浮点数由三部分组成：
- 符号位（S）：表示数值的正负，1 位。
- 阶码（Exponent，E）：表示数值的大小范围，使用偏置编码（biased exponent）。
- 尾数（Mantissa，M）：表示数值的精度部分，即有效数字。
例如，单精度浮点数占 32 位，其中符号 1 位，阶码 8 位，尾数 23 位。
规格化数与尾数隐藏位的产生原因
在二进制浮点数中，为了保证数值的唯一性和最大化精度，采用了规格化表示。规格化的定义是：尾数的最高有效位（最高位）总是 1。
这是因为任何非零二进制数都可以调整指数，使得尾数的最高位为 1。例如，二进制数 0.101 转换为规格化形式是 1.01 × 2^(-1)。
由于最高位总是 1，这个最高位 1 可以不显式存储，而是“隐藏”起来，这样就节省了 1 位存储空间，用于表示更多的尾数有效位，从而提高了精度。
- 对于单精度浮点数，虽然尾数字段只有 23 位，但实际有效尾数是 24 位（包含隐藏的最高位 1）。
- 对于双精度浮点数，尾数字段 52 位，实际有效尾数是 53 位。
这种隐藏的最高位称为隐藏位（implicit leading bit）或隐含位。
具体表示形式
规格化浮点数的值可表示为：
其中：
- 表示尾数，最高位 1 是隐含的，不存储在尾数字段中。
- 是存储在尾数字段的二进制小数部分。
- 是阶码字段的无符号整数值。
- 是偏置值，例如单精度的 Bias 为 127。
非规格化数（Denormalized Numbers）
当阶码全为 0 时，浮点数不再是规格化的，此时尾数最高位不再是 1，而是 0，即没有隐藏位。非规格化数用于表示非常接近 0 的数（次正规数），以及正负零。
此时数值表示为：
尾数的最高位不隐含 1，而是显式为 0。
隐藏位的作用总结
- 节省存储空间：隐藏最高位 1，使得尾数字段可以表示更多有效位。
- 提高精度：尾数字段 n 位，实际有效位是 n+1 位。
- 保证唯一性：规格化数的尾数最高位总是 1，避免了多种表示同一数值的情况。
- 简化硬件设计：硬件在计算时自动加上隐藏位 1，简化了浮点数的处理。
参考
- 规格化数的尾数最高位总是 1，IEEE 754 标准中将其隐藏以节省空间，尾数字段 n 位实际表示 n+1 位有效数字。
- 非规格化数阶码全 0，尾数最高位不隐藏，表示 0 和非常小的数。
- 单精度浮点数尾数 23 位，实际有效位 24 位（含隐藏位）。
- 公式表达为 ，其中 1 是隐藏位。
综上，IEEE 规格化浮点数的尾数隐藏位是指尾数最高位恒为 1 的特性被隐含不存储，从而使尾数的有效位数增加一位，提高了浮点数的表示精度和效率。