91 三重积分与线面积分

\newcommand{\oiint}{{\subset\!\supset} \mathllap{\iint}} \newcommand{\oiiint}{{\Large{\subset\!\supset}} \mathllap{\iiint}} \text{defined }\oiint \text{ and }\oiiint

三重积分

直角坐标

定积分的推广，核心思想是“先一后二”，将三重积分化为一次定积分和一次二重积分。

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]d\sigma$$

其中 $D_{xy}$ 是积分区域 $\Omega$ 在 $xy$ 平面上的投影区域。这种方法称为投影法。

特殊地，若积分区域 $\Omega$ 可表示为 $a\le x\le b,y_1(x)\le y\le y_2(x),z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)$，则

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$

积分次序的选择应尽可能使积分限简单。当投影区域不规则时，也可考虑截面法，即

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_a^{b}A(z)dz$$

其中 $A(z)={\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy$ 是 $\Omega$ 被平面 $Z=z$ 所截的截面面积。

柱坐标

适用于积分区域为柱体、锥体，或被积函数含 $x^2+y^2$ 的情况。

坐标变换：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$ 体积元：$dv=rdrd\theta dz$ 积分公式：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$$

球坐标

适用于积分区域为球体、锥体，或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$ 的情况。

坐标变换：$x=\rho \sin \phi \cos \theta ,y=\rho \sin \phi \sin \theta ,z=\rho \cos \phi$ 其中 $\rho \ge 0$ (到原点距离)，$0\le \phi \le \pi$ (与 $z$ 轴正向夹角)，$0\le \theta \le 2\pi$ (与 $x$ 轴正向夹角)。

体积元：$dv={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$ 积分公式：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(\dots ){\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$$

奇偶性

若积分区域 $\Omega$ 关于某坐标平面对称，可以利用被积函数的奇偶性简化计算。

• 区域对称性：例如，$\Omega$ 关于 $xy$ 平面对称，意味着若点 $(x,y,z)\in \Omega$，则 $(x,y,-z)\in \Omega$。
• 函数奇偶性：
  • 若 $f(x,y,z)$ 关于变量 $z$ 为奇函数（即 $f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$），且 $\Omega$ 关于 $xy$ 平面对称，则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=0$。
  • 若 $f(x,y,z)$ 关于变量 $z$ 为偶函数（即 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$），且 $\Omega$ 关于 $xy$ 平面对称，则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=2{\iiint }_{{\Omega }_z^{+}}f(x,y,z)dv$，其中 ${\Omega }_z^{+}$ 是 $\Omega$ 在 $z\ge 0$ 的部分。 此结论可推广至其他坐标平面（$yz$ 平面、$xz$ 平面）。

利用变量对称性

当积分区域 $\Omega$ 具有轮换对称性时（即交换任意两个变量，积分区域不变），积分值可能具有特殊关系。

例如，若将区域 $\Omega$ 中的 $x,y$ 互换，区域不变，则：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iiint }_{\Omega }f(y,x,z)dv$$

推论：若积分区域 $\Omega$ 关于 $x,y$ 变量对称，则 ${\iiint }_{\Omega }xdv={\iiint }_{\Omega }ydv$。

此性质常用于计算形心坐标和转动惯量。例如，计算 ${\iiint }_{\Omega }(x+y)dv$ 可简化为 $2{\iiint }_{\Omega }xdv$。

弧长的线积分（第一类线积分）

又称第一类曲线积分，积分结果是数值，与路径方向无关。

物理意义：若 $f(x,y,z)$ 是曲线型构件 $L$ 的线密度，则 ${\int }_{L}f(x,y,z)ds$ 是该构件的总质量。

直接法

核心是化为定积分。

1. 参数方程形式：设曲线 $L$ 的参数方程为 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$t\in [\alpha ,\beta ]$。 弧长微元：$ds=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt$ 计算公式： $${\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt$$
2. 平面直角坐标形式：设平面曲线 $L$ 的方程为 $y=g(x)$，$x\in [a,b]$。 弧长微元：$ds=\sqrt{1+[g^{\prime }(x){]}^2}dx$ 计算公式： $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,g(x))\sqrt{1+[g^{\prime }(x){]}^2}dx$$
3. 极坐标形式：设平面曲线 $L$ 的方程为 $r=r(\theta )$，$\theta \in [\alpha ,\beta ]$。 弧长微元：$ds=\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$ 计算公式： $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta )\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$

利用奇偶性

若积分曲线 $L$ 关于某坐标轴或原点对称，可以利用被积函数的奇偶性简化计算。

• 关于 y 轴对称：若曲线 $L$ 关于 $y$ 轴对称，
  • 若 $f(-x,y)=-f(x,y)$（关于 $x$ 为奇函数），则 ${\int }_{L}f(x,y)ds=0$。
  • 若 $f(-x,y)=f(x,y)$（关于 $x$ 为偶函数），则 ${\int }_{L}f(x,y)ds=2{\int }_{L_1}f(x,y)ds$，其中 $L_1$ 为 $L$ 在 $x\ge 0$ 的部分。
• 关于 x 轴对称和关于原点对称的结论类似。

利用对称性

若积分曲线 $L$ 具有轮换对称性（如 $L$ 关于直线 $y=x$ 对称），且被积函数也具有相应对称性，可简化计算。

• 应用场景：常用于求形心问题。
• 核心结论：若曲线 $L$ 关于直线 $y=x$ 对称，则 ${\int }_{L}xds={\int }_{L}yds$。
• 示例：计算 ${\int }_L(x^2+y)ds$，其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=R^2$。由于圆周关于 $y$ 轴对称，且被积函数 $y$ 关于 $x$ 是偶函数，而 $x^2$ 也是偶函数，所以不能直接用奇偶性简化。但由于圆周关于原点对称，$y$ 是奇函数，故 ${\int }_{L}yds=0$。而 $x^2$ 是偶函数，因此 ${\int }_L{x}^{2}ds$ 需要计算。
• 轮换对称性应用：在上述圆周上，${\int }_L{x}^{2}ds={\int }_L{y}^{2}ds$。又因为 ${\int }_L(x^2+y^2)ds={\int }_L{R}^{2}ds=R^2\cdot 2\pi R=2\pi R^3$，所以 $2{\int }_L{x}^{2}ds=2\pi R^3$，即 ${\int }_L{x}^{2}ds=\pi R^3$。

对坐标的线积分（第二类线积分）

又称第二类曲线积分，积分结果与路径的方向有关。若记 $L$ 为有向曲线，$-L$ 表示其反向曲线，则 ${\int }_{-L}Pdx+Qdy=-{\int }_{L}Pdx+Qdy$。

物理意义：若向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 为力场，则积分 ${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$ 表示质点在力场 $\vec{F}$ 的作用下，沿有向曲线 $L$ 移动所做的功。

计算方法（平面）

积分形式：${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

直接法

核心思想是化为定积分，即将所有变量统一为同一个参数。

1. 将曲线 $L$ 参数化：设 $L$ 的参数方程为 $x=x(t),y=y(t)$，起点对应参数 $t=\alpha$，终点对应参数 $t=\beta$。
2. 代入并积分： $${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\right]dt$$ 注意：定积分的上下限 $\alpha ,\beta$ 必须与曲线 $L$ 的方向一致。

格林公式

连接了封闭曲线上的线积分与该曲线所围区域上的二重积分。

条件：平面闭区域 $D$ 由分段光滑的封闭曲线 $L$ 围成，$L$ 取正向（即沿 $L$ 前进时，区域 $D$ 始终在左侧，通常为逆时针方向）。函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数。

公式：

$${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

应用：若 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ 为常数或简单函数，则计算二重积分通常比线积分简单。特别地，可用于计算区域面积：$A=\frac{1}{2}{\oint }_L(xdy-ydx)$。

格林公式（补线）

当积分路径 $L$ 不封闭时，可通过添加一条或多条辅助线 $L^{\prime }$ 将其封闭，然后应用格林公式。

步骤：

1. 构造辅助线 $L^{\prime }$，使 $L+L^{\prime }$ 构成一条封闭曲线，并确定其所围区域 $D$。
2. 应用格林公式：${\int }_{L+L^{\prime }}={\int }_L+{\int }_{L^{\prime }}={\iint }_D(\dots )dxdy$
3. 移项求解：${\int }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy-{\int }_{L^{\prime }}Pdx+Qdy$

关键：选择的辅助线 $L^{\prime }$ 应使线积分 ${\int }_{L^{\prime }}Pdx+Qdy$ 易于计算（如沿坐标轴的直线段）。

利用线积分与路径无关

在某些条件下，线积分的值只与起点和终点有关，而与具体路径无关。

等价条件（在单连通区域 $D$ 内）：

1. 对 $D$ 内任意闭路 $C$，有 ${\oint }_{C}Pdx+Qdy=0$。
2. 对 $D$ 内任意两点间的积分，其值与路径无关。
3. 在 $D$ 内恒有 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。（最常用判据）
4. $Pdx+Qdy$ 是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分（即 $du=Pdx+Qdy$），称 $u(x,y)$ 为原函数。

计算方法：

• 改换路径法：若满足路径无关条件，可将复杂的积分路径 $L$ 替换为连接相同起点和终点的简单路径，如由平行于坐标轴的折线段构成的路径。

• 原函数法：若能求出原函数 $u(x,y)$，则从点 $A(x_1,y_1)$ 到点 $B(x_2,y_2)$ 的积分为：

  $${\int }_{L}Pdx+Qdy=u(B)-u(A)=u(x_2,y_2)-u(x_1,y_1)$$

  求原函数 $u(x,y)$ 可用凑微分法或不定积分法。

计算方法（空间）

积分形式：${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$

直接法

与平面情况类似，将空间曲线参数化。

1. 设空间曲线 $L$ 的参数方程为 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，起点对应 $t=\alpha$，终点对应 $t=\beta$。
2. 代入并积分： $${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+Q(\dots )y^{\prime }(t)+R(\dots )z^{\prime }(t)\right]dt$$

斯托克斯公式

将空间封闭曲线上的线积分与以该曲线为边界的曲面上的面积分联系起来。

条件：空间封闭曲线 $\Gamma$ 为分段光滑的有向曲面 $\Sigma$ 的边界。$\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的法向量方向符合右手法则。函数 $P,Q,R$ 及其一阶偏导数连续。

公式：

$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

向量形式：令 $\vec{F}=(P,Q,R)$，则 ${\oint }_{\Gamma }\vec{F}\cdot d\vec{r}={\iint }_{\Sigma }(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}$

应用：

• 计算空间闭曲线的线积分，尤其当 $\nabla \times \vec{F}$ 较简单时。
• 空间线积分与路径无关的条件：在单连通区域内，$\nabla \times \vec{F}=\vec{0}$，即 $\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z}$, $\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}$, $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。

对面积的面积分（第一类面积分）

又称第一类曲面积分，积分结果是数值，与曲面的侧（法向量方向）无关。

物理意义：若 $f(x,y,z)$ 是曲面 $\Sigma$ 的面密度，则 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$ 是该曲面的总质量。

直接法

核心思想是化为二重积分。

1. 投影法：将空间曲面 $\Sigma$ 投影到某个坐标平面上。 假设曲面方程为 $z=z(x,y)$，其在 $xy$ 平面上的投影区域为 $D_{xy}$。 面积微元：$dS=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy$ 计算公式：

   $${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy$$

   若曲面方程为 $F(x,y,z)=0$，则 $dS=\frac{|\nabla F|}{|F_z^{\prime }|}dxdy$。

   选择投影平面的原则：

   • 投影区域完整：曲面在投影平面上没有重叠部分（即一对一投影）。如果不行，则需要分块计算。
   • 投影区域简单：投影得到的二重积分区域边界简单，易于定限。
   • 被积函数简单：代入曲面方程后，被积函数尽量简化。

2. 参数方程法：若曲面 $\Sigma$ 由参数方程 $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$ 给出，$(u,v)\in D_{uv}$。 面积微元：$dS=\sqrt{EG-F^2}dudv$ 其中 $E=(\frac{\partial x}{\partial u}{)}^2+(\frac{\partial y}{\partial u}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial u}{)}^2$ $G=(\frac{\partial x}{\partial v}{)}^2+(\frac{\partial y}{\partial v}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial v}{)}^2$ $F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}$ 计算公式：

   $${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{uv}}f(x(u,v),\dots )\sqrt{EG-F^2}dudv$$

   （注：参数方程法在考研中不作为重点，了解即可）

好的，这是一个非常核心且关键的概念。我们来详细解释一下面积微元 $dS$ 从何而来，以及为什么它会是 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$ 的形式。

面积微元 $dS$ 的推导

核心思想

在计算曲面积分 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$ 时，我们需要将曲面 $\Sigma$ 分割成无穷多个小曲面块，每个小块的面积记为 $dS$。直接计算弯曲的小块面积很困难，所以我们的核心思想是用一小块平面来近似这一小块曲面。哪一块平面最合适？自然是切平面。

因此，$dS$ 的本质是曲面上一点 $(x,y,z)$ 处一个无穷小邻域所对应的切平面面积。

推导过程 (以向 $xy$ 平面投影为例)

1. 建立对应关系 假设我们的曲面 $\Sigma$ 的方程是 $z=z(x,y)$。 我们在 $xy$ 平面上取一个无穷小的矩形区域，记为 $d\sigma$。这个小矩形的边长分别为 $dx$ 和 $dy$，所以它的面积是 $d\sigma =dxdy$。 这个小矩形 $d\sigma$ 在空间曲面 $\Sigma$ 上对应着一小块曲面，这块曲面的面积就是我们要求的 $dS$。

2. 用切平面近似 我们在小曲面块上任取一点 $P(x,y,z(x,y))$，并在此点作 $\Sigma$ 的切平面。当 $dx$ 和 $dy$ 极小时，小曲面块的面积 $dS$ 可以用其在切平面上的对应投影面积来近似。这个在切平面上的小块是一个平行四边形。

3. 构造切向量 这个切平面上的平行四边形由两个向量张成：

   • 当 $y$ 保持不变，$x$ 变化 $dx$ 时，点 $P$ 在曲面上的移动可以近似为一个向量 $\vec{a}$。这个向量在 $x,y,z$ 轴上的分量分别是 $dx,0,dz$。根据全微分，$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$。由于 $y$ 不变 ($dy=0$)，所以 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx$。 因此，$\vec{a}=(dx,0,\frac{\partial z}{\partial x}dx)=(1,0,\frac{\partial z}{\partial x})dx$。
   • 当 $x$ 保持不变，$y$ 变化 $dy$ 时，点 $P$ 在曲面上的移动可以近似为一个向量 $\vec{b}$。同理，$dz=\frac{\partial z}{\partial y}dy$。 因此，$\vec{b}=(0,dy,\frac{\partial z}{\partial y}dy)=(0,1,\frac{\partial z}{\partial y})dy$。

4. 计算平行四边形面积 由向量知识可知，由向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 张成的平行四边形面积等于它们叉积的模，即 $dS=|\vec{a}\times \vec{b}|$。

   $$\vec{a}\times \vec{b}=\left((1,0,\frac{\partial z}{\partial x})dx\right)\times \left((0,1,\frac{\partial z}{\partial y})dy\right)$$ $$=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& \frac{\partial z}{\partial x}\\ 0& 1& \frac{\partial z}{\partial y}\end{array}\right|dxdy$$ $$=\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\vec{i}-\frac{\partial z}{\partial y}\vec{j}+\vec{k}\right)dxdy$$

   现在我们计算这个叉积向量的模：

   $$dS=|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{{\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2+1^2}dxdy$$ $$dS=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$$

   这就是面积微元 $dS$ 的最终形式。

几何直观理解

我们可以从另一个角度理解这个公式。

令 $\gamma$ 为曲面在点 $P$ 的法向量 $\vec{n}$ 与 $z$ 轴正向（即 $xy$ 平面的法向量 $\vec{k}$）的夹角。

$xy$ 平面上的小面积 $d\sigma =dxdy$ 可以看作是曲面上的小面积 $dS$ 在 $xy$ 平面上的投影。根据投影关系，我们有：

$$dxdy=dS\cdot |\cos \gamma |$$

所以，

$$dS=\frac{dxdy}{|\cos \gamma |}$$

对于曲面 $z=z(x,y)$，可以写成隐函数形式 $F(x,y,z)=z-z(x,y)=0$。其法向量为：

$$\vec{n}=\nabla F=\left(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1\right)$$

$z$ 轴方向的单位向量为 $\vec{k}=(0,0,1)$。

根据点积公式 $\vec{n}\cdot \vec{k}=|\vec{n}||\vec{k}|\cos \gamma$：

$$\cos \gamma =\frac{\vec{n}\cdot \vec{k}}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\frac{(-\frac{\partial z}{\partial x})\cdot 0+(-\frac{\partial z}{\partial y})\cdot 0+1\cdot 1}{\sqrt{(-\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(-\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2+1^2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$$

将 $|\cos \gamma |$ 代入，即可得到：

$$dS=\frac{dxdy}{\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}}=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

两种方法得到的结果完全一致。这个根式因子 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 实质上是一个伸缩比例，它描述了当一块平坦的 $dxdy$ 区域被“拉”到倾斜的曲面上时，其面积会放大多少倍。曲面越陡峭（偏导数越大），这个放大倍数就越大。

利用奇偶性

若积分曲面 $\Sigma$ 关于某坐标平面对称，可利用被积函数的奇偶性简化计算。

• 区域对称性：例如，曲面 $\Sigma$ 关于 $xy$ 平面对称，即若点 $(x,y,z)\in \Sigma$，则点 $(x,y,-z)\in \Sigma$。
• 函数奇偶性：
  • 若 $f(x,y,z)$ 关于变量 $z$ 为奇函数（即 $f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$），且 $\Sigma$ 关于 $xy$ 平面对称，则 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS=0$。
  • 若 $f(x,y,z)$ 关于变量 $z$ 为偶函数（即 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$），且 $\Sigma$ 关于 $xy$ 平面对称，则 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS=2{\iint }_{{\Sigma }_1}f(x,y,z)dS$，其中 ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 在 $z\ge 0$ 的部分。
• 此结论可推广至关于 $yz$ 平面和 $xz$ 平面的对称情况。

示例：计算 ${\iint }_{\Sigma }zdS$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$。 由于球面关于 $xy$ 平面对称，而被积函数 $f(x,y,z)=z$ 是关于 $z$ 的奇函数，所以积分值为 0。

利用对称性

当积分曲面 $\Sigma$ 具有轮换对称性时，即交换某些坐标变量后曲面方程不变，则相关积分值可能相等。

• 核心思想：若将曲面 $\Sigma$ 上的变量 $x,y$ 互换，曲面方程不变（即曲面关于平面 $y=x$ 对称），则： $${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{\Sigma }f(y,x,z)dS$$
• 推论：若曲面 $\Sigma$ 关于 $x,y$ 变量对称（例如球面、顶点在 $z$ 轴上的圆锥面等），则 ${\iint }_{\Sigma }{x}^{2}dS={\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS$。
• 应用：常用于计算形心和转动惯量。
• 示例：计算 $I={\iint }_{\Sigma }{x}^{2}dS$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$。 由对称性可知，${\iint }_{\Sigma }{x}^{2}dS={\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS={\iint }_{\Sigma }{z}^{2}dS$。 因此，$3I={\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2+z^2)dS={\iint }_{\Sigma }{R}^{2}dS=R^2\cdot (\text{球面面积})=R^2\cdot 4\pi R^2=4\pi R^4$。 故 $I=\frac{4}{3}\pi R^4$。

对坐标的面积分（第二类面积分）

又称第二类曲面积分，积分结果与曲面的方向（侧） 有关。若记 $\Sigma$ 为有向曲面，其法向量指向一侧，则 $-\Sigma$ 表示取另一侧，有 ${\iint }_{-\Sigma }=-{\iint }_{\Sigma }$。

物理意义：若向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 为流速场，则积分 ${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$ 表示单位时间内穿过曲面 $\Sigma$ 指定一侧的流体的净流量。

直接法

核心思想是化为二重积分，将对坐标的面积分投影到坐标平面上计算。

计算步骤： 将一个积分拆成三个部分，分别向对应的坐标平面投影。

1. 计算 ${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy$：

   • 将曲面 $\Sigma$ 投影到 $xy$ 平面，得投影区域 $D_{xy}$。
   • 将曲面方程代入被积函数，消去变量 $z$，即 $R(x,y,z(x,y))$。
   • 确定符号：根据曲面 $\Sigma$ 的法向量方向。若法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角（上侧），取正号；若为钝角（下侧），取负号。
   • 公式：${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$

2. 计算 ${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)dydz$：

   • 投影到 $yz$ 平面，得 $D_{yz}$。
   • 符号：法向量与 $x$ 轴正向夹角为锐角（右侧），取正号；钝角（左侧），取负号。
   • 公式：${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)dydz=\pm {\iint }_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)dydz$

3. 计算 ${\iint }_{\Sigma }Q(x,y,z)dzdx$：

   • 投影到 $zx$ 平面，得 $D_{zx}$。
   • 符号：法向量与 $y$ 轴正向夹角为锐角（前侧），取正号；钝角（后侧），取负号。
   • 公式：${\iint }_{\Sigma }Q(x,y,z)dzdx=\pm {\iint }_{D_{zx}}Q(x(y,z),y,z(x,y))dzdx$

统一公式： 若曲面方程为 $z=z(x,y)$，取上侧，则法向量为 $(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1)$。

$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{D_{xy}}\left[P(-\frac{\partial z}{\partial x})+Q(-\frac{\partial z}{\partial y})+R\right]dxdy$$

高斯公式

将封闭曲面上的面积分，转化为在该曲面所围空间区域上的三重积分。

条件：

• 空间闭区域 $\Omega$ 由分段光滑的封闭曲面 $\Sigma$ 所围成。
• $\Sigma$ 的方向取外侧（法向量指向区域外部）。
• 函数 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数。

公式：

$$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$

向量形式（散度定理）：令 $\vec{F}=(P,Q,R)$，则

$$\iint \vec{F}\cdot d\vec{S}={\iiint }_{\Omega }(\nabla \cdot \vec{F})dV$$

其中 $\nabla \cdot \vec{F}$ 为向量场 $\vec{F}$ 的散度。

应用：当曲面封闭，且散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 是一个简单函数（尤其是常数或零）时，计算三重积分往往比直接计算面积分更简单。

高斯公式（补面）

当积分曲面 $\Sigma$ 不封闭时，可通过添加一个或多个辅助曲面 ${\Sigma }_1$ 将其封闭，从而利用高斯公式。

步骤：

1. 补面：构造一个简单的辅助曲面 ${\Sigma }_1$（通常是平面片），使得 $\Sigma +{\Sigma }_1$ 构成一个封闭曲面，并确定其所围成的空间区域 $\Omega$。
2. 应用高斯公式：对封闭曲面 $\Sigma +{\Sigma }_1$（取外侧）应用高斯公式： $$\iint (\dots )={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$
3. 拆分：由于积分的可加性，$\iint ={\iint }_{\Sigma }+{\iint }_{{\Sigma }_1}$。
4. 求解：移项得到所求积分： $${\iint }_{\Sigma }={\iiint }_{\Omega }(\text{散度})dV-{\iint }_{{\Sigma }_1}$$

关键：所添加的辅助曲面 ${\Sigma }_1$ 必须足够简单，使其上的第二类曲面积分 ${\iint }_{{\Sigma }_1}$ 易于直接计算。例如，若 ${\Sigma }_1$ 是位于平面 $z=c$ 上的圆盘，其外法向量为 $(0,0,-1)$（若在下方）或 $(0,0,1)$（若在上方），则 $dydz=0,dzdx=0$，积分 ${\iint }_{{\Sigma }_1}$ 就简化为 ${\iint }_{{\Sigma }_1}Rdxdy$。

两类线积分的联系

两类线积分通过有向曲线的单位切向量建立联系。

设空间有向曲线 $L$ 的单位切向量为 $\vec{\tau }=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$，其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 分别是切向量与 $x,y,z$ 轴正向的夹角。弧长微元 $ds$ 与坐标微元 $dx,dy,dz$ 的关系为：

$$dx=ds\cdot \cos \alpha ,dy=ds\cdot \cos \beta ,dz=ds\cdot \cos \gamma$$

将上式代入对坐标的线积分，即可得到两者的转换公式：

$${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )ds$$

向量形式： 令向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$，单位切向量为 $\vec{\tau }$，则公式可写为：

$${\int }_L\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_L\vec{F}\cdot \vec{\tau }ds$$

这个公式的物理意义是：力场 $\vec{F}$ 沿曲线 $L$ 所做的功，等于 $\vec{F}$ 在曲线切线方向上的分量的数值沿弧长的积分。

两类面积分的联系

两类面积分通过有向曲面的单位法向量建立联系。

设有向曲面 $\Sigma$ 指定侧的单位法向量为 $\vec{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$，其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 分别是法向量与 $x,y,z$ 轴正向的夹角。面积微元 $dS$ 与其在各坐标平面上的投影 $dydz,dzdx,dxdy$ 的关系为：

$$dydz=dS\cdot \cos \alpha ,dzdx=dS\cdot \cos \beta ,dxdy=dS\cdot \cos \gamma$$

将上式代入对坐标的面积分，即可得到两者的转换公式：

$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$

向量形式： 令向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$，单位法向量为 $\vec{n}$，则公式可写为：

$${\iint }_{\Sigma }\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_{\Sigma }\vec{F}\cdot \vec{n}dS$$

这个公式的物理意义是：流速场 $\vec{F}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量，等于 $\vec{F}$ 在曲面法线方向上的分量的数值对面积的积分。

闭曲线积分性质

该性质是针对一个非常典型的线积分 ${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ 的讨论，其中 $L$ 为平面上的分段光滑闭曲线。

令 $P(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}$，$Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$。这两个函数在除原点 $(0,0)$ 以外的整个平面上都具有一阶连续偏导数。

通过计算可得，在定义域内：

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$$ $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-1(x^2+y^2)-(-y)(2y)}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$$

因此，在任何不包含原点的区域内，都恒有 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。

沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零

证明： 设闭曲线 $L$ 不包含原点，其所围成的区域为 $D$。由于原点不在 $L$ 上也不在 $D$ 内，函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在整个闭区域 $D$ 上都满足格林公式的条件。 因为在 $D$ 内 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$，根据格林公式：

$${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\iint }_{D}0dxdy=0$$

沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等

证明与计算： 设 $L_1$ 和 $L_2$ 是两条任何包含原点的、分段光滑的简单闭曲线，方向均取逆时针。 不妨设 $L_2$ 在 $L_1$ 的内部。考虑由 $L_1$ 和 $-L_2$（即顺时针方向的 $L_2$）共同构成的环形区域 $D$。原点 $(0,0)$ 不在 $D$ 内。 在该环形区域 $D$ 上，$P,Q$ 满足格林公式的条件，且 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$。 因此，沿 $D$ 的整个边界（$L_1\cup -L_2$）的积分为零：

$${\oint }_{L_1\cup -L_2}Pdx+Qdy={\oint }_{L_1}Pdx+Qdy+{\oint }_{-L_2}Pdx+Qdy=0$$ $${\oint }_{L_1}Pdx+Qdy-{\oint }_{L_2}Pdx+Qdy=0$$ $$⟹{\oint }_{L_1}Pdx+Qdy={\oint }_{L_2}Pdx+Qdy$$

这证明了积分值与具体路径无关，只要路径是包围原点的任意闭曲线。

计算该定值： 为了计算这个值，我们可以选取最简单的包含原点的闭曲线，例如单位圆 $L:x=\cos t,y=\sin t$，$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 $dx=-\sin tdt,dy=\cos tdt$，$x^2+y^2=1$。

$${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}={\int }_0^{2\pi }\frac{(\cos t)(\cos tdt)-(\sin t)(-\sin tdt)}{1}={\int }_0^{2\pi }({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)dt={\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi$$

因此，沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分值均为 $2\pi$。

高斯公式的向量形式

在向量场 $\vec{F}$ 及其散度 $\nabla \cdot \vec{F}$ 连续的条件下，高斯公式的向量形式可以表示为以下两种等价形式：

形式一（使用向量面元 $d\vec{S}$）：

$$\iint \vec{F}\cdot d\vec{S}={\iiint }_{\Omega }(\nabla \cdot \vec{F})dV$$

形式二（使用单位法向量 $\vec{n}$）：

$$\iint \vec{F}\cdot \vec{n}dS={\iiint }_{\Omega }(\nabla \cdot \vec{F})dV$$

各组成部分的含义：

• $\Sigma$： 表示一个封闭曲面，它是三维区域 $\Omega$ 的边界。在物理中，常用来表示一个包围着特定体积的“高斯面”。

• $\Omega$： 表示由封闭曲面 $\Sigma$ 所围成的三维区域（通常是实心区域）。

• $\vec{F}$： 表示一个三维向量场，可以写为 $\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$。在物理中，它可以代表流体的速度场、电场、磁场等。

• $d\vec{S}$： 表示向量面元，其大小等于曲面上一个微小面积元素 $dS$，方向与该面积元素的外法线方向 $\vec{n}$ 一致。因此，$d\vec{S}=\vec{n}dS$。

• $\vec{n}$： 表示曲面 $\Sigma$ 上一点的单位外法向量。它垂直于曲面，并且方向指向区域 $\Omega$ 的外部。

• $\vec{F}\cdot d\vec{S}$ 或 $\vec{F}\cdot \vec{n}dS$： 表示向量场 $\vec{F}$ 通过微小面元 $d\vec{S}$ 的通量。这是点积，表示 $\vec{F}$ 在法线方向上的分量乘以面元大小。对整个封闭曲面求积分，就得到了向量场通过封闭曲面的总通量。

• $\nabla \cdot \vec{F}$： 读作“del dot F”，表示向量场 $\vec{F}$ 的散度（Divergence）。如果 $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$，则散度定义为：

  $$\nabla \cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

  散度是一个标量场，它在某一点的值表示该点附近的向量场是发散（散度为正）、汇聚（散度为负）还是无源（散度为零）。在物理中，散度常常用来描述源或汇的密度，例如流体密度变化率、电荷密度等。

• $dV$： 表示体积元素，在直角坐标系下通常是 $dxdydz$。

• $\iint$： 表示对封闭曲面 $\Sigma$ 进行的面积分。

• ${\iiint }_{\Omega }$： 表示对三维区域 $\Omega$ 进行的体积积分。

高斯公式的物理意义：通过封闭曲面的向量场通量等于该曲面所围区域内向量场的散度之和。简而言之，它联系了向量场在边界上的行为（通量）与向量场在区域内部的行为（散度）。