85 方向导数与梯度

方向导数

定义： 设函数 $u = f (P) = f (x, y, z)$ 在点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的某一邻域 $U (P_{0})$ 内有定义， $l = (cos α, cos β, cos γ)$ 是从点 $P_{0}$ 出发射线 $P_{0} P$ 的方向向量，且是一个单位向量。如果 $ρ \to 0^{+} lim \frac{f ( x _{0} + ρ cos α , y _{0} + ρ cos β , z _{0} + ρ cos γ ) - f ( x _{0} , y _{0} , z _{0} )}{ρ}$ 存在，则称此极限为函数 $f (x, y, z)$ 在点 $P_{0}$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial l}_{P_{0}}$ 。
- 针对二元函数 $u = f (x, y)$ ，方向向量 $l = (cos α, cos β)$ (即 $cos β = sin α$ )，则类似于 $\frac{\partial f}{\partial r}$ 或者 $\frac{\partial f}{\partial l}$ 。
几何意义/物理意义： 方向导数表示函数在某点沿某一特定方向的变化率。
存在条件： 若函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微，则在点 $(x, y)$ 沿任何方向 $l$ 的方向导数都存在。方向导数存在不一定意味着可微。

若函数 $u = f (x, y, z)$ 在点 $P (x, y, z)$ 可微，则函数在该点沿任何方向 $l = (cos α, cos β, cos γ)$ 的方向导数都存在，且 $\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos α + \frac{\partial f}{\partial y} cos β + \frac{\partial f}{\partial z} cos γ$
- （推广）：对于二元函数 $z = f (x, y)$ ，如果 $f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则在点 $(x, y)$ 沿方向 $l = (cos α, cos β)$ ( $α$ 为向量与 $x$ 轴正向的夹角， $y$ 轴夹角为 $β$ ) 的方向导数是 $\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos α + \frac{\partial f}{\partial y} sin α$ 注意此处的角度是指单位向量与两个坐标轴正方向的夹角。
应用注意： 在具体计算方向导数时，给定的方向若不是单位向量，需要先将其进行单位化。例如，若方向向量时 $v = (a, b, c)$ ，则单位方向向量为

\frac{v}{∥ v ∥} = (\frac{a}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}, \frac{b}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}, \frac{c}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}})

定义： 设函数 $u = f (x, y, z)$ 在点 $P (x, y, z)$ 可微，则可以定义函数在点 $P$ 的梯度为一个向量，记作 $grad f$ 或 $\nabla f$ （读作 nabla $f$ ）： $grad f = \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k$
- 对于二元函数 $z = f (x, y)$ ，其梯度为 $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j$ 。
几何意义： 梯度是一个向量，其方向指示了函数在该点处变化最快（增长最快） 的方向；其模长（大小）则表示了在该方向上变化的最大速率，即最大方向导数。

联立方向导数公式和梯度的定义，可知： $\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos α + \frac{\partial f}{\partial y} cos β + \frac{\partial f}{\partial z} cos γ = \nabla f \cdot l$ 这里的 $l$ 是单位方向向量。
由于 $\nabla f \cdot l = ∥\nabla f ∥ \cdot ∥ l ∥ \cdot cos θ = ∥\nabla f ∥ cos θ$ ，（其中 $θ$ 是向量 $\nabla f$ 和向量 $l$ 之间的夹角）。
- 当 $cos θ = 1$ （即 $θ = 0$ ），即方向 $l$ 与 $\nabla f$ 的方向相同时，方向导数取最大值： $(\frac{\partial f}{\partial l})_{m a x} = ∥\nabla f ∥$ 。此时 $l = \frac{\nabla f}{∥\nabla f ∥}$ 。
- 当 $cos θ = - 1$ （即 $θ = π$ ），即方向 $l$ 与 $\nabla f$ 的方向相反时，方向导数取最小值： $(\frac{\partial f}{\partial l})_{m i n} = - ∥\nabla f ∥$ 。
- 当量规等高面（二元函数 $f (X, Y) = C$ 的等值线，三元 hàm $f (X, Y, Z) = C$ 函的等值曲面）的法向量为梯度垂直于该等值面。也就是说，沿着梯度方向，函数值曲速递增，沿着负梯度方向，函数值曲速递减。而沿着等高线（等值面）方向，函数值不变，因此，梯度必垂直于等高线（等值面）方向。

特性	方向导数	梯度
定义	函数在某点沿特定方向的变化率	表示函数可微点的偏导数所构成的向量
表达式（三元）	$d f / d l = (\partial f / \partial x) cos α + (\partial f / \partial y) cos β + (\partial f / \partial z) cos γ$	$\nabla f = (\partial f / \partial x, \partial f / \partial y, \partial f / \partial z)$
属性	数量（一个数值）	向量
方向	指定方向	函数值增加最快的方向
大小	某个方向上的变化率	变化率最大的值（为最大方向导数）
几何意义	通过数值反映函数几何体中的变化率	矢量几何特征：垂直于等值面或等值线，指向函数值增长最迅速之方向