911 积分转换总结

这两种表达方式分别对应第一类曲面积分和第二类曲面积分的计算与联系，本质区别在于积分微元的定义和物理意义。

两类曲面积分的区别与选择

特征	第一类曲面积分 (对面积的曲面积分)	第二类曲面积分 (对坐标的曲面积分)
积分形式	$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)dS$	$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$
被积函数	标量函数 $f(x,y,z)$	向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 的三个分量函数
积分微元	曲面面积微元 $dS$。它是一个标量，表示一小块曲面的面积。	有向面积微元在坐标面上的投影 $dydz,dzdx,dxdy$。它们是“有符号”的面积，其正负与曲面法向量的方向有关。
物理意义	主要用于计算曲面的质量（$f$为面密度）、面积（$f=1$）等，这些是与方向无关的物理量。	主要用于计算穿过有向曲面$\Sigma$的通量（或流量），例如电通量、磁通量、流体流量等，这些是与方向密切相关的物理量。
核心性质	积分值与曲面$\Sigma$的侧（法向量方向）无关。	积分值与曲面$\Sigma$的侧（法向量方向）有关。若取另一侧，积分值反号。

何时选择何种转换方式（计算方法）

选择哪种方式取决于题目给定的积分类型。

计算第一类曲面积分 $\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)dS$

核心思路：投影法，将对面积的曲面积分 $dS$ 转化为对坐标的二重积分 $dxdy$ (或 $dydz$, $dzdx$)。

1. 曲面由 $z=z(x,y)$ 给出：

   • 将曲面$\Sigma$投影到$xOy$平面，得到投影区域$D_{xy}$。
   • 面积微元转换为：$dS=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy$
   • 积分为：$\underset{D_{xy}}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$

2. 曲面由 $x=x(y,z)$ 或 $y=y(x,z)$ 给出：

   • 类似地，投影到$yOz$或$xOz$平面，并使用相应的公式转换$dS$。
   • 例如，投影到$yOz$平面：$dS=\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}dydz$

计算第二类曲面积分 $\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

有三种主要计算方法：

1. 方法一：直接投影法 (化为三个二重积分)

   • 思想： 将三个分量分别投影到对应的坐标面计算。
   • 步骤：
     • 计算 $\underset{\Sigma }{\iint }Rdxdy$: 将曲面$\Sigma$投影到$xOy$平面得$D_{xy}$，化为 $\underset{D_{xy}}{\iint }R(x,y,z(x,y))dxdy$。
       • 符号判断： 在$D_{xy}$上，若曲面$\Sigma$的法向量$\vec{n}$与$z$轴正向夹角为锐角 ($\cos \gamma >0$, 通常称为上侧或外侧)，则取正号；若为钝角 ($\cos \gamma <0$, 下侧或内侧)，则取负号。
       • 即 $\underset{\Sigma }{\iint }Rdxdy=\pm \underset{D_{xy}}{\iint }R(x,y,z(x,y))dxdy$
     • $\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz$ 和 $\underset{\Sigma }{\iint }Qdzdx$ 的计算类似，分别投影到$yOz$和$xOz$平面，并根据法向量与$x$轴、_y_轴的夹角判断符号。
   • 适用场景： 对分片光滑的开曲面积分常用。

2. 方法二：利用两类曲面积分的关系

   • 思想： 通过 $dydz=\cos \alpha dS$, $dzdx=\cos \beta dS$, $dxdy=\cos \gamma dS$ 转换为第一类曲面积分计算。其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是曲面$\Sigma$指定侧的单位法向量。
   • 公式： $\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Sigma }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$
   • 适用场景： 当被积函数与法向量的表达式结合后能显著化简时（例如在球面或柱面上），或法向量容易求出时。

3. 方法三：高斯公式 (Gauss’s Theorem)

   • 思想： 将对封闭曲面的积分转化为在它所围成的空间区域上的三重积分。
   • 公式： 若$\Sigma$是封闭曲面，包围区域$\Omega$，法向量指向外侧，则 $\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$
   • 适用场景：
     • 直接应用： 积分曲面是封闭曲面，且散度 $(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})$ 的计算比曲面积分更简单。
     • “补面法”： 如果积分曲面$\Sigma$是不封闭的开曲面，可以添加一个或多个简单的辅助曲面${\Sigma }_1$使其封闭，然后应用高斯公式，最后减去在辅助曲面上的积分。 $\underset{\Sigma }{\iint }=\underset{\Sigma +{\Sigma }_1}{\iint }-\underset{{\Sigma }_1}{\iint }$ 这是考研中的一个核心技巧，特别适用于被积表达式的散度为常数或简单函数的情况。