级数敛散性结论

基础概念与判别前提

1. 收敛的必要条件 (The Necessary Condition for Convergence)

   • 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$。
   • 逆否命题： 若 ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n\ne 0$ (或极限不存在)，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散。
   • 注意： ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$ 只是收敛的必要条件，而非充分条件（如调和级数 $\sum 1/n$）。

2. 绝对收敛与条件收敛 (Absolute vs. Conditional Convergence)

   • 绝对收敛 (Absolutely Convergent)： 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|u_n|$ 收敛，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 绝对收敛。
     • 性质： 绝对收敛的级数一定收敛。
   • 条件收敛 (Conditionally Convergent)： 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|u_n|$ 发散，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 条件收敛。

级数运算与收敛性

1. 和差运算 (Sum & Difference)
   • 收 $\pm$ 收 (Convergent $\pm$ Convergent)
     • 若 $\sum u_n$ 收敛 且 $\sum v_n$ 收敛
     • 则 $\sum (u_n\pm v_n)$ 收敛。
   • 收 $\pm$ 散 (Convergent $\pm$ Divergent)
     • 若 $\sum u_n$ 收敛 且 $\sum v_n$ 发散
     • 则 $\sum (u_n\pm v_n)$ 发散。
   • 散 $\pm$ 散 (Divergent $\pm$ Divergent)
     • 若 $\sum u_n$ 发散 且 $\sum v_n$ 发散
     • 则 $\sum (u_n\pm v_n)$ 不确定 (可能收敛、发散或振荡)。
       • 例： $\sum 1$ (散)，$\sum (-1)$ (散)，但 $\sum (1+(-1))=\sum 0=0$ (收)。
2. 数乘运算 (Scalar Multiplication)
   • 若 $\sum u_n$ 收敛，且 $c$ 为非零常数
   • 则 $\sum (c\cdot u_n)$ 收敛。
   • 若 $\sum u_n$ 发散，且 $c$ 为非零常数
   • 则 $\sum (c\cdot u_n)$ 发散。
3. 逐项乘积 (Term-by-Term Product) $u_n\cdot v_n$
   • 收 $\times$ 收 (Convergent $\times$ Convergent)
     • 若 $\sum u_n$ 收敛 且 $\sum v_n$ 收敛
     • 则 $\sum (u_n{v}_n)$ 不一定收敛。
       • 例： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ 收敛，但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\right)}^2={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散。
     • 更强的结论： 若 $\sum u_n$ 绝对收敛 且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum (u_n{v}_n)$ 收敛。
     • 最强结论： 若 $\sum u_n$ 绝对收敛 且 $\sum v_n$ 绝对收敛，则 $\sum (u_n{v}_n)$ 绝对收敛。

项的变换与收敛性

1. $u_n^2$ 与 $\sqrt{u_n}$ 的关系
   • $\sum u_n$ 收敛 与 $\sum u_n^2$ 收敛 的关系
     • 若 $\sum u_n$ 绝对收敛，则 $\sum u_n^2$ 收敛。
       • 解释： 因 $|u_n|\to 0$，存在 $N$ 使 $n>N$ 时 $|u_n|<1$，则 $u_n^2=|u_n{|}^2<|u_n|$。由比较判别法得证。
     • 若 $\sum u_n$ 条件收敛，则 $\sum u_n^2$ 不一定收敛 (可能发散)。
       • 例： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ 条件收敛，但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\right)}^2={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散。
   • $\sum u_n$ 收敛 (且 $u_n\ge 0$) 与 $\sum \sqrt{u_n}$ 收敛 的关系
     • 若 $\sum u_n$ 收敛 (且 $u_n\ge 0$)，则 $\sum \sqrt{u_n}$ 通常发散。
       • 解释： 尽管 $u_n\to 0$，但 $\sqrt{u_n}$ 通常比 $u_n$ 趋于 0 的速度慢。
       • 例： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 收敛，但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\sqrt{\frac{1}{n^2}}={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散。
     • 例外： 只有当 $u_n$ 趋于 0 的速度非常快时，$\sum \sqrt{u_n}$ 才可能收敛。

常用判别法与条件 (比值判别法 & 根值判别法)

这些判别法主要用于判断绝对收敛。

1. 比值判别法 (Ratio Test)
   • 设 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=L$
   • 若 $L<1$，则 $\sum u_n$ 绝对收敛。
   • 若 $L>1$ (或 $L=\infty$)，则 $\sum u_n$ 发散。
   • 若 $L=1$，判别法失效 (需用其他方法)。
2. 根值判别法 (Root Test)
   • 设 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|u_n|}=L$
   • 若 $L<1$，则 $\sum u_n$ 绝对收敛。
   • 若 $L>1$ (或 $L=\infty$)，则 $\sum u_n$ 发散。
   • 若 $L=1$，判别法失效 (需用其他方法)。

特殊级数的敛散性判别

交错级数 (Alternating Series)

• 定义形式： $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$，其中 $u_n>0$。

• 莱布尼茨判别法 (Leibniz’s Test): 若一个交错级数满足以下两个条件：

  1. 数列 $\{u_n\}$ 单调非增，即 $u_n\ge u_{n+1}$ (对充分大的 $n$ 成立即可)。
  2. $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。 则该交错级数收敛。

• 绝对收敛与条件收敛 (Absolute and Conditional Convergence): 对于任意项级数 $\sum a_n$ (交错级数是其特例):

  • 绝对收敛： 如果级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，则称级数 $\sum a_n$ 绝对收敛。
    • 重要性质： 绝对收敛的级数必定收敛。
  • 条件收敛： 如果级数 $\sum a_n$ 收敛，但级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ 发散，则称级数 $\sum a_n$ 条件收敛。
  • 判别步骤：
    1. 先判断 $\sum |a_n|$ 是否收敛。若是，则原级数绝对收敛，判别结束。
    2. 若 $\sum |a_n|$ 发散，再用莱布尼茨判别法判断 $\sum a_n$ 是否收敛。若是，则原级数条件收敛。

p 级数 (p-series)

• 定义形式： $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$

• 敛散性结论：

  • 当 $p>1$ 时，级数收敛。
  • 当 $p\le 1$ 时，级数发散。

• 重要特例：

  • $p=1$ 时，为调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$，发散。这是最重要的发散级数标尺。
  • $p=2$ 时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 收敛，其和为 $\frac{{\pi }^2}{6}$。

对数 p 级数 (Logarithmic p-series / Bertrand Series)

• 定义形式： $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ (注意求和下限为 $n=2$，以避免 $\ln 1=0$)

• 敛散性结论 (可由积分判别法得到): 该级数的敛散性与 p 级数完全相同。

  • 当 $p>1$ 时，级数收敛。
  • 当 $p\le 1$ 时，级数发散。

• 考研应用： 该级数是比 p 级数更精细的判别“标尺”。当使用比较判别法，且极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{1/n}=c\ne 0$ 时，我们只能判断 $u_n$ 与 $1/n$ 同阶，无法确定其级数敛散性。此时，可以尝试与 $\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ 进行比较。例如，判断级数 $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\ln n}{n^2}$ 的敛散性，可以与收敛的 $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^{3/2}}$ 比较。