经典反例

$f(x)=x^3$ 原函数严格单增，导函数单调不减

分析：

• 原函数：$f(x)=x^3$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上严格单调递增
• 导函数：$f^{\prime }(x)=3x^2$ 在 $(-\infty ,0]$ 上单调递减，在 $[0,+\infty )$ 上单调递增
• 反例意义： 说明原函数的单调性与导函数的单调性没有必然联系

$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$ 原函数在有限区间 $(0,1)$ 有界，导函数在相同区间无界

分析：

• 原函数：$f(x)=\sqrt{x}$ 在 $(0,1)$ 上有界（$0<f(x)<1$）
• 导函数：$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 在 $(0,1)$ 上无界（当 $x\to 0^{+}$ 时，$f^{\prime }(x)\to +\infty$）
• 反例意义： 说明原函数有界不能推出导函数有界