合同变换

定义

设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵。如果存在一个可逆矩阵$C$，使得

$B=C^{T}AC$

则称矩阵 $A$ 与 $B$ 是合同的 (Congruent)，记作 $A\simeq B$。由可逆矩阵 $C$ 实现 $A$ 到 $B$ 的变换称为合同变换。

对于二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$，作可逆线性变换 $\mathbf{x}=C\mathbf{y}$，得到新的二次型：

$g(\mathbf{y})=(C\mathbf{y}{)}^{T}A(C\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T(C^{T}AC)\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{T}B\mathbf{y}$

• 合同二次型：若两个二次型的系数矩阵 $A$ 和 $B$ 是合同的，则称这两个二次型是合同的。
• 合同标准形/合同规范形：任何一个二次型都与一个标准形（或规范形）合同。一个二次型的标准形不唯一，但它们都互相合同。

性质

合同关系是一种等价关系，满足：

1. 反身性：$A\simeq A$。因为存在单位矩阵 $E$ 使得 $A=E^{T}AE$。
2. 对称性：若 $A\simeq B$，则 $B\simeq A$。因为若 $B=C^{T}AC$，则 $A=(C^{-1}{)}^{T}B(C^{-1})$。
3. 传递性：若 $A\simeq B$ 且 $B\simeq C$，则 $A\simeq C$。因为若 $B=P^{T}AP$ 且 $C=Q^{T}BQ$，则 $C=(PQ{)}^{T}A(PQ)$。

合同矩阵具有以下性质：

4. 若 $A\simeq B$，则它们的秩相等，即 $r(A)=r(B)$。
5. 若 $A\simeq B$，则 $A$ 为对称矩阵当且仅当 $B$ 为对称矩阵。
6. 若 $A\simeq B$ 且 $A$ 可逆，则 $B$ 也可逆，且 $A^{-1}\simeq B^{-1}$。
7. 若 $A\simeq B$，则转置矩阵 $A^T\simeq B^T$。因为若 $B=C^{T}AC$，则 $B^T=(C^{T}AC{)}^T=C^T{A}^{T}C$。

惯性系数的判别（标准形）

正负惯性系数是二次型通过合同变换化为标准形后，平方项中正系数的个数（正惯性系数 $p$）和负系数的个数（负惯性系数 $q$）。正负惯性系数由矩阵唯一确定，是重要的不变量。

顺序主子式法

此方法通过计算二次型对应实对称矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式来确定正负惯性系数。

定义：$n$ 阶矩阵 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式 $D_k$ 指的是由 $A$ 的前 $k$ 行和前 $k$ 列构成的子矩阵的行列式。 $D_k=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1k}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|,k=1,2,\dots ,n$

判别法则：

前提条件：矩阵 $A$ 的所有顺序主子式均不为零，即 $D_k\ne 0$ 对所有的 $k=1,2,\dots ,n$ 成立。

1. 构造符号序列：$1,D_1,D_2,\dots ,D_n$。
2. 负惯性系数 $q$ 等于该序列中符号发生改变的次数（变号数）。
3. 正惯性系数 $p$ 等于该序列中符号保持不变的次数（保号数）。

并且，有 $p+q=n$。

示例： 设某二次型的矩阵 $A$ 的顺序主子式为 $D_1=-1$, $D_2=2$, $D_3=-4$。 符号序列为：$1,-1,2,-4$。

• 从 $1$ 到 $D_1=-1$：符号改变，变号数 +1。
• 从 $D_1=-1$ 到 $D_2=2$：符号改变，变号数 +1。
• 从 $D_2=2$ 到 $D_3=-4$：符号改变，变号数 +1。

总计变号 3 次，保号 0 次。

因此，负惯性系数 $q=3$，正惯性系数 $p=0$。

注意：若存在某个 $D_k=0$，则此方法失效，应使用下面的初等行变换法。

初等行变换法

此方法本质是配方法，通过对矩阵 $A$ 进行特定的初等行变换，将其化为上阶梯形矩阵，通过阶梯形矩阵的对角元素（主元）符号来判断正负惯性系数。

操作步骤：

1. 对二次型的实对称矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为上阶梯形矩阵。
2. 在变换过程中，必须严格遵守以下规则：
   • 不进行行交换操作 ($R_i\leftrightarrow R_j$)。
   • 行倍乘时，乘子 $k$ 必须为正数 ($R_i\to k{R}_i,k>0$)。通常为避免改变主元数值，只使用 $R_i+c{R}_j\to R_i$ 这一种行变换。
3. 变换为上阶梯形矩阵后，其对角线上主元（即每行第一个非零元，在此操作下它们必然位于对角线上）的符号即决定了正负惯性系数。
   • 正惯性系数 $p$ = 对角线上正主元的个数。
   • 负惯性系数 $q$ = 对角线上负主元的个数。

优势： 该方法具有普适性，即使顺序主子式为零，该方法依然有效，是求正负惯性系数的通用方法。

示例： 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ -2& 4& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$。 这里 $D_1=1$, $D_2=|\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}|=0$。顺序主子式法失效。

使用初等行变换法：

设矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)$。

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)\underset{R_3+R_1}{\overset{R_2-R_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\stackrel{R_3-R_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

得到的上阶梯矩阵对角线上的主元为 $1,1,1$。

所有主元均为正数。

因此，正惯性系数 $p=3$，负惯性系数 $q=0$。