正交变换法

是对实对称矩阵相似对角化的正交变换的延伸。任何二次型均可通过正交变换化为标准形，但需注意不一定能化为规范形。

基本定理

对于任何一个 $n$ 元实二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$（其中 $A$ 为实对称矩阵），必存在一个正交变换 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，使得二次型化为只含平方项的标准形：

$f(\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T(Q^{T}AQ)\mathbf{y}={\mathbf{y}}^T\Lambda \mathbf{y}={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$

其中：

• $Q$ 是一个正交矩阵（即 $Q^{-1}=Q^T$），它的列向量是矩阵 $A$ 的一组标准正交特征向量。
• $\Lambda$ 是一个对角矩阵，其对角元 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 是矩阵 $A$ 的全部特征值。 $\Lambda =Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

方法步骤

利用正交变换法将二次型化为标准形，本质上就是对其实对称矩阵 $A$ 进行正交相似对角化的过程。

1. 写出二次型矩阵：根据二次型 $f(\mathbf{x})$ 写出其对应的实对称矩阵 $A$。

2. 求特征值：计算 $A$ 的特征多项式 $|\lambda I-A|=0$，求出 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$。

3. 求特征向量：对每一个特征值 ${\lambda }_i$，求解齐次线性方程组 $({\lambda }_{i}I-A)\mathbf{x}=0$，得到其基础解系，即对应的特征向量。

4. 正交化与单位化：

   • 不同特征值对应的特征向量已经天然正交。
   • 若存在重特征值，其对应的多个线性无关的特征向量需要使用施密特正交化 (Gram-Schmidt) 方法进行处理，得到一组正交的特征向量。
   • 将所有正交的特征向量进行单位化，得到一组标准正交基 $({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n)$。

5. 构造正交矩阵并写出结果：

   • 令 $Q=({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n)$，则 $Q$ 即为所求的正交矩阵。
   • 作正交变换 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$。
   • 二次型的标准形为 $f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$。

示例

[问答题]

问题： 用正交变换法化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 为标准形。

[答案]

1. 二次型矩阵： $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

2. 求特征值：

   $$\begin{array}{rl}|\lambda I-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& -1\\ -1& \lambda & -1\\ -1& -1& \lambda \end{array}\right|\\ & =\lambda ({\lambda }^2-1)-(-1)(-\lambda -1)+(-1)(1+\lambda )\\ & ={\lambda }^3-\lambda -\lambda -1-\lambda -1\\ & ={\lambda }^3-3\lambda -2=(\lambda -2)(\lambda +1{)}^2=0\end{array}$$

   特征值为 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2={\lambda }_3=-1$。

3. 求特征向量：

   • 当 ${\lambda }_1=2$ 时，解 $(2I-A)\mathbf{x}=0$： $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 得到特征向量 ${\xi }_1=(1,1,1{)}^T$。
   • 当 ${\lambda }_2={\lambda }_3=-1$ 时，解 $(-I-A)\mathbf{x}=0$： $\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -1& -1& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 得到基础解系 ${\xi }_2=(-1,1,0{)}^T,{\xi }_3=(-1,0,1{)}^T$。

4. 正交化与单位化：

   • ${\xi }_1$ 与 ${\xi }_2,{\xi }_3$ 分别对应不同特征值，故已正交。

   • ${\xi }_2$ 与 ${\xi }_3$ 对应同一特征值，需要正交化。令 ${\alpha }_1={\xi }_2=(-1,1,0{)}^T$。

     $$\begin{array}{rl}{\alpha }_2& ={\xi }_3-\frac{[{\xi }_3,{\alpha }_1]}{[{\alpha }_1,{\alpha }_1]}{\alpha }_1\\ & =(-1,0,1{)}^T-\frac{1}{2}(-1,1,0{)}^T\\ & =(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1{)}^T\end{array}$$

     为计算方便，可取 ${\alpha }_2^{\prime }=-2{\alpha }_2=(1,1,-2{)}^T$。

     此时得到一组正交基 ${\xi }_1=(1,1,1{)}^T$, ${\alpha }_1=(-1,1,0{)}^T$, ${\alpha }_2^{\prime }=(1,1,-2{)}^T$。

   • 单位化： ${\eta }_1=\frac{{\xi }_1}{\Vert {\xi }_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^T$${\eta }_2=\frac{{\alpha }_1}{\Vert {\alpha }_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0{)}^T$${\eta }_3=\frac{{\alpha }_2^{\prime }}{\Vert {\alpha }_2^{\prime }\Vert }=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2{)}^T$

5. 构造矩阵并写出结果：

   • 正交矩阵为： $Q=({\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 0& -2/\sqrt{6}\end{array}\right)$
   • 作正交变换 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，二次型的标准形为： $f=2y_1^2-y_2^2-y_3^2$

特点与总结

• 唯一性：与配方法不同，通过正交变换得到的标准形是唯一的（不计各项次序），因为其系数就是矩阵唯一的特征值。
• 几何意义：正交变换在几何上对应坐标系的旋转或旋转加反射，不改变图形的形状和大小。新的坐标轴 $y_1,y_2,\dots ,y_n$ 是二次曲面的主轴方向。
• 对比配方法：
  • 变换矩阵：正交变换法得到的是正交矩阵$Q$；配方法得到的是一般的可逆矩阵$C$。
  • 标准形系数：正交变换法得到的系数是特征值；配方法得到的系数依赖于配方过程，不唯一。