初等变换法

基本原理

对于二次型 $f (x) = x^{T} A x$ ，我们的目标是寻找一个可逆线性变换 $x = C y$ ，将其化为标准形，即只含平方项的二次型。

将 $x = C y$ 代入二次型表达式，得到：

$f (x) = (C y)^{T} A (C y) = y^{T} C^{T} A C y$

我们的目标是找到一个可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} A C = Λ$ 成为一个对角矩阵。这个过程被称为将对称矩阵 $A$ 合同变换为对角矩阵 $Λ$ 。

任何一个可逆矩阵 $C$ 都可以表示为一系列初等矩阵的乘积，即 $C = P_{1} P_{2} \dots P_{s}$ 。于是，合同变换的表达式变为：

$C^{T} A C = (P_{1} P_{2} \dots P_{s})^{T} A (P_{1} P_{2} \dots P_{s}) = P_{s}^{T} \dots P_{2}^{T} P_{1}^{T} A P_{1} P_{2} \dots P_{s} = Λ$

这个式子揭示了成对初等变换法的核心思想：

用初等列矩阵 $P_{i}$ 右乘 $A$ (即 $A P_{1} P_{2} \dots$ )，相当于对 $A$ 实施一系列的初等列变换。
用初等行矩阵 $P_{i}^{T}$ 左乘 $A$ (即 $\dots P_{2}^{T} P_{1}^{T} A$ )，相当于对 $A$ 实施一系列的初等行变换。

为了保证变换后的矩阵依然是对称矩阵，从而能够最终化为对角阵，每次对 $A$ 实施一种初等列变换后，必须立即对它实施同一种初等行变换。这样成对操作，直到将 $A$ 化为对角矩阵 $Λ$ 。

该方法通过构造一个分块矩阵，将对 $A$ 的列变换信息记录下来，最终得到矩阵 $C$ 。

构造增广矩阵 $(A E)$ ，其中 $A$ 是二次型的对称矩阵， $E$ 是同阶单位矩阵。
对整个增广矩阵实施初等列变换，目的是将矩阵 $A$ 的非对角元化为零。
每当实施一次列变换 (如 $c_{j} \leftarrow c_{j} + k c_{i}$ ) 时，必须立即对 $A$ 所在的上半部分实施相应的行变换 (如 $r_{j} \leftarrow r_{j} + k r_{i}$ )。（列变换和行变换的下标和系数完全一致）。
重复此过程，直到 $A$ 变为对角矩阵 $Λ$ 。此时，下半部分的单位矩阵 $E$ 就变成了我们所求的变换矩阵 $C$ 。

最终形式为：

$(A E) 成对初等变换 (Λ C)$

其中 $C^{T} A C = Λ$ .

给定对称矩阵 $A = 111122121$ ，求可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T} A C$ 为对角矩阵。

解：构造增广矩阵 $(A E)$ 并进行成对初等变换。

(A E) = 111100122010121001 c_{2} - c_{1}, c_{3} - c_{1} 111100 011 - 1 10 010 - 1 01 r_{2} - r_{1}, r_{3} - r_{1} 100100 011 - 1 10 010 - 1 01 c_{3} - c_{2} 100100 011 - 1 10 00 - 1 0 - 1 1 r_{3} - r_{2} 100100 010 - 1 10 00 - 1 0 - 1 1

变换结束。我们得到对角矩阵 $Λ$ 和变换矩阵 $C$ ：

$Λ = 100010 00 - 1, C = 100 - 1 10 0 - 1 1$