多项式除法

多项式除法是代数学中的一个基本工具，在求解特征方程时，当我们利用有理根定理找到一个根 ${\lambda }_1$ 后，就可以用多项式除法来降低多项式的次数，从而简化求解过程。其核心思想是将原多项式 $P(\lambda )$ 分解为 $(\lambda -{\lambda }_1)Q(\lambda )$ 的形式，其中 $Q(\lambda )$ 是一个次数比 $P(\lambda )$ 低一的多项式。

长除法

长除法 (Long Division) 是一种通用的多项式除法，类似于算术中的长除法。它适用于任何多项式除法，但计算过程相对繁琐。

综合除法

综合除法 (Synthetic Division) 是一种针对除式为 $(\lambda -c)$ 形式的快速算法，在考研计算中极为常用和高效。

步骤： 设被除多项式为 $P(\lambda )=a_k{\lambda }^k+a_{k-1}{\lambda }^{k-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$，除式为 $(\lambda -c)$。

1. 写出系数： 将被除多项式 $P(\lambda )$ 的所有系数 $a_k,a_{k-1},\dots ,a_0$ 按降幂次序排列。如果有多项式缺项，必须用 0 补齐。
2. 写出根： 在系数左侧写上我们试出的根 $c$。
3. 计算过程：
   • 将最高次项系数 $a_k$ 直接写到结果行的第一位。
   • 将结果行上的数乘以根 $c$，写到前一个系数的下一列下方。
   • 将该列的两个数相加，结果写到结果行。
   • 重复上述两步，直到最后一列计算完毕。
4. 得出结论：
   • 结果行的最后一个数是余数。由于 $c$ 是方程的根，余数应为 $0$。这可以作为检验。
   • 结果行前面的所有数，就是商式 $Q(\lambda )$ 的系数，其次数比 $P(\lambda )$ 低一。