有理根定理

在计算特征方程 $∣ λ E - A ∣ = 0$ 时，一个常见的难点是从高次多项式中解出特征值 $λ$ 。对于整系数多项式方程，可以运用有理根定理及其推论进行试根。

设整系数一元高次多项式方程为：

$f (λ) = a_{k} λ^{k} + \dots + a_{1} λ + a_{0} = 0$

其中 $a_{k}, \dots, a_{1}, a_{0}$ 均为整数。

常用试根技巧

若常数项 $a_{0} = 0$ ，则 $λ = 0$ 是方程的一个根。
若所有系数之和为零，即 $a_{k} + \dots + a_{1} + a_{0} = 0$ ，则 $λ = 1$ 是方程的一个根。
若偶次项系数之和等于奇次项系数之和，即 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots = a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots$ ，则 $λ = - 1$ 是方程的一个根。
若最高次项系数 $a_{k} = 1$ （即首一多项式），则方程的任何有理根都必为整数，且是常数项 $a_{0}$ 的一个因子。

:::quiz[essay] 示例

这是一个首项系数为 $1$ 且所有系数均为整数的多项式方程。根据上述技巧 4，若该方程有有理根，则该根必为整数，且是常数项 $2$ 的因子。

$a_{0} = 2$ 的因子为 $\pm 1, \pm 2$ 。

将 $λ = 1$ 代入： $1^{3} - 4 (1)^{2} + 3 (1) + 2 = 1 - 4 + 3 + 2 = 2 \neq = 0$ 。
将 $λ = - 1$ 代入： $(- 1)^{3} - 4 (- 1)^{2} + 3 (- 1) + 2 = - 1 - 4 - 3 + 2 = - 6 \neq = 0$ 。
将 $λ = 2$ 代入： $2^{3} - 4 (2)^{2} + 3 (2) + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$ 。

因此， $λ = 2$ 是方程的一个根。之后可以用多项式除法（除以 $(λ - 2)$ ）来对原方程进行降次，以求得其他根。

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