同解方程组

定义与等价条件

如果两个 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 和 $B_{s\times n}x=0$ 具有完全相同的解集，则称它们为同解方程组。

两个齐次线性方程组同解的充分必要条件是它们的系数矩阵的行向量组等价。从秩的角度来看，其数学表达（充要条件）为：

$r(A)=r(B)=r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$

其中 $r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$ 表示将矩阵 $A$ 和 $B$ 按行分块（纵向堆叠）后得到的新矩阵的秩。

常见同解方程组

1. 若矩阵 $B$ 是列满秩矩阵，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 与 $BAx=0$ 同解。
   • 正向显然成立
   • 逆向：$B$ 列满秩则 $B\mathbf{y}=0$ 只有零解，将 $A{x}_0$ 视为 $\mathbf{y}$ 则 $Ax=0$。
2. 齐次线性方程组 $Ax=0$ 与 $A^{T}Ax=0$ 同解。
   • 正向显然成立
   • 逆向：若 $x_0$ 是 $A^{T}Ax=0$ 的解，则 $A^{T}A{x}_0=0$。将此等式左乘 $x_0^T$，得到 $x_0^T{A}^{T}A{x}_0=x_0^{T}0⟹(A{x}_0{)}^T(A{x}_0)=0$。设向量 $y=A{x}_0$。则上式变为 $y^{T}y=0$。对于实数向量 $y$，其内积 $y^{T}y$ 等于其模的平方 ($||y|{|}^2$)。只有当 $y$ 是零向量时，其模的平方才为零。因此， $y=0$，即 $A{x}_0=0$。所以 $x_0$ 也是 $Ax=0$ 的解。
3. 若方程组 $Ax=0$ 的所有解都是方程组 $Bx=0$ 的解，则 $Ax=0$ 与 复合方程组 $\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)x=0$ 同解。
   • 复合方程组 $\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)x=0$ 实际上表示的是：$Ax=0$, $Bx=0$. 一个向量 $x$ 是这个复合方程组的解，当且仅当它同时满足 $Ax=0$ 和 $Bx=0$。

例题

[选择题]

1. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵, $b$ 是 $n$ 维列向量且与 $A^{T}x=0$ 的解均正交, 则 ()

• A. $A^{T}x=0$ 的解与 $A$ 的行向量正交
• B. $Ax=0$ 的解与 $A$ 的列向量正交
• C. $A^{T}x=b$ 有解
• D. $Ax=b$ 有解

[答案]

正交就有方程: 若 $\beta ,\alpha$ 正交, 则 $\beta$ 是 ${\alpha }^{T}x=0$ 的解, $\alpha$ 是 ${\beta }^{T}x=0$ 的解。

$A^{T}x=0$ 的解均与 $b$ 正交 $\Rightarrow A^{T}x=0$ 的解均是 $b^{T}x=0$ 的解。

$\Rightarrow A^{T}x=0$ 的解与 $\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ b^T\end{array}\right)x=0$ 同解。

这意味着 $N(A^T)=N\left(\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ b^T\end{array}\right)\right)$。

根据秩零定理，这等价于 $rank(A^T)=rank\left(\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ b^T\end{array}\right)\right)$。

这表明 $b^T$ 可以由 $A^T$ 的行向量线性表示，即 $b$ 可以由 $A$ 的列向量表示。

因此，方程 $Ax=b$ 有解。

判定方法：基础解系代入法

此方法常用于判断两个方程组是否同解，或在给定一个方程组的条件下，求另一个含有未知参数的方程组的参数值，以使其成为同解方程组。

原理：若方程组 $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解，则 $Ax=0$ 的任意解都必须是 $Bx=0$ 的解。其通解 $x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_s{\xi }_s$ 对于任意常数 $k_i$ 都必须满足 $Bx=0$。这等价于要求 $Ax=0$ 的基础解系中的每一个解向量也都必须是 $Bx=0$ 的解。

步骤：

1. 求出其中一个方程组（例如 $Ax=0$）的基础解系，记为 $\{{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_s\}$。
2. 将该基础解系中的每个向量 ${\xi }_i$ ($i=1,2,\dots ,s$) 逐一代入另一个方程组 $Bx=0$ 进行检验。
3. 如果 $B{\xi }_i=0$ 对所有的 $i$ 都成立，并且两个方程组的解空间的维数相同（即 $n-r(A)=n-r(B)$，也就是 $r(A)=r(B)$），则两个方程组同解。
4. 当矩阵 $B$ 中含有未知参数时，将基础解系代入即可得到关于这些参数的线性方程组，解出参数值即可。

例题

[problem]

1. 线性方程组 $A=\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_3+5x_4=0\\ x_1-x_2-2x_3+2x_4=0\\ 2x_1-x_2+x_3+3x_4=0\end{array}$, 在其基础上加一个方程 程式 $B=\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_3+5x_4=0\\ x_1-x_2-2x_3+2x_4=0\\ 2x_1-x_2+x_3+3x_4=0\\ 4x_4+a{x}_2+b{x}_3+13x_4=0\end{array}$, $ab$ 满足什么条件, $AB$ 是同解方程组

[答案]

解: $B$ 在 $A$ 的基础上增加一个方程, 即多增加了约束, 从而 $B$ 的解一定为 $A$ 的解的子集。所以只要 $A$ 的解也满足 $B$ 的解就是同解方程组。

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 5\\ 0& -1& -5& -3\\ 0& 0& 0& -4\end{array}\right)$, $s=n-r=4-3=1$, $\xi =(-3,-5,1,0{)}^T$,

$k\xi =k(-3,-5,1,0{)}^T=(-3k,-5k,k,0{)}^T$。

所以这个对于 $B$ 而言必然满足前三行, 若要整体满足, 也就也要满足 $B$ 的第四行, 所以直接代入第四行: $4(-3k)+a(-5k)+bk+0=k(-12-5a+b)=0$。

又 $k$ 为任意数, 所以 $-12-5a+b=0$, 即 $b=5a+12$。

[problem]

2. 设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵, $A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵, 证明方程组 $\Lambda :Ax=0$ 和 ${\rm Y}:A^{T}Ax=0$ 是同解方程组

[答案]

证明: 若 $\gamma$ 为 $\Lambda$ 的唯一解, 则 $A\gamma =0$, 则 $A^{T}A\gamma =A^{T}0=0$, $\therefore \gamma$ 也为 ${\rm Y}$ 的解。

若 $\eta$ 为 ${\rm Y}$ 的唯一解, 则 $A^{T}A\eta =0$, ${\eta }^T{A}^{T}A\eta =(A\eta {)}^{T}A\eta =\Vert A\eta {\Vert }^2=0$, 所以 $A\eta =0$, 从而 $\eta$ 也为 $\Lambda$ 的解。

所以同解, 所以其两个矩阵的基解等价。

定理 $r(A)=r(A^T)=r(A^{T}A)=r(A{A}^T)$