行列向量组满秩

核心结论

左乘看列，保右行：列满秩 $A$ 左乘 $B$ 得到 $AB$，保持右边矩阵 $B$ 的行性质 右乘看行，保左列：行满秩 $B$ 右乘 $A$ 得到 $AB$，保持左边矩阵 $A$ 的列性质。

1. 左乘列满秩矩阵: 设矩阵 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，且 列满秩，即 $r(A)=n$。对于任意 $n\times s$ 矩阵 $B$：

   • 秩不变: $r(AB)=r(B)$。
   • 行向量组等价: 矩阵 $AB$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组 等价。这意味着它们可以相互线性表示，并且张成相同的行空间，即 $R(AB)=R(B)$。
   • 同解方程组: 齐次线性方程组 $AB\vec{x}=\vec{0}$ 与 $B\vec{x}=\vec{0}$ 同解。
   • 列向量关系: 矩阵 $AB$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组具有 相同的线性关系。

2. 右乘行满秩矩阵: 设矩阵 $B$ 为 $n\times s$ 矩阵，且 行满秩，即 $r(B)=n$。对于任意 $m\times n$ 矩阵 $A$：

   • 秩不变: $r(AB)=r(A)$。
   • 列向量组等价: 矩阵 $AB$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组 等价。这意味着它们可以相互线性表示，并且张成相同的列空间，即 $C(AB)=C(A)$。
   • 行向量关系: 矩阵 $AB$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组具有 相同的线性关系。

3. 乘以可逆矩阵:

   • 若 $P$ 为 $m$ 阶 可逆矩阵，则 $r(PA)=r(A)$。$PA$ 的行向量组与 $A$ 的行向量组等价。
   • 若 $Q$ 为 $n$ 阶 可逆矩阵，则 $r(AQ)=r(A)$。$AQ$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价。
   • 可逆矩阵既是行满秩也是列满秩，因此乘以可逆矩阵不改变原矩阵的秩。

典型题目解析

原题：设 $A,B$ 分别为 $m\times n$ 与 $n\times s$ 矩阵, 且 $r(A)=n$, 则正确的是 A. $AB$ 的列向量组与 $B$ 的列向量组等价. B. $AB$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价. C. $AB$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价. D. $AB$ 的行向量组与 $A$ 的行向量组等价.

分析

1. 解读条件:

   • 矩阵 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵。
   • 矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 等于它的列数 $n$。
   • 这说明矩阵 $A$ 是 列满秩 的。

2. 应用结论:

   • 根据核心结论第一条，当一个矩阵（这里是 $B$）左乘一个 列满秩 矩阵（这里是 $A$）时，乘积矩阵 $AB$ 的 行向量组 与原矩阵 $B$ 的 行向量组 等价。

最终答案：B。

核心证明

证明 $r(A)=n⟹AB\vec{x}=\vec{0}$ 与 $B\vec{x}=\vec{0}$ 同解

• 证明 $B\vec{x}=\vec{0}⟹AB\vec{x}=\vec{0}$: 若 $B\vec{x}=\vec{0}$，则两边同时左乘矩阵 $A$，得到 $A(B\vec{x})=A\vec{0}$，即 $AB\vec{x}=\vec{0}$。此方向恒成立，与 $r(A)$ 无关。
• 证明 $AB\vec{x}=\vec{0}⟹B\vec{x}=\vec{0}$: 设 $\vec{y}=B\vec{x}$。方程 $AB\vec{x}=\vec{0}$ 变为 $A\vec{y}=\vec{0}$。 因为 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且 $r(A)=n$ (列满秩)，其列向量线性无关。因此，齐次线性方程组 $A\vec{y}=\vec{0}$ 只有零解，即 $\vec{y}=\vec{0}$。 由 $\vec{y}=B\vec{x}$，可知 $B\vec{x}=\vec{0}$。

综上所述，两个方程组的解集完全相同，故为 同解方程组。

证明 $r(A)=n⟹r(AB)=r(B)$

• 方法一：利用同解方程组 根据线性方程组理论，方程组 $M\vec{x}=\vec{0}$ 的基础解系包含的解向量个数为 $k=p-r(M)$，其中 $p$ 是未知量个数（即 $M$ 的列数）。 $AB\vec{x}=\vec{0}$ 和 $B\vec{x}=\vec{0}$ 的未知量个数均为 $s$ (矩阵 $B$ 的列数)。 由于它们同解，其基础解系的解向量个数也相同。 所以有：$s-r(AB)=s-r(B)$，由此可得 $r(AB)=r(B)$。

• 方法二：利用秩的不等式

  1. 矩阵乘积的秩不大于任何一个因子的秩：$r(AB)\le r(B)$。
  2. 西尔维斯特不等式 (Sylvester’s inequality): $r(A)+r(B)-n\le r(AB)$，其中 $n$ 是 $A$ 的列数和 $B$ 的行数。
  3. 将已知条件 $r(A)=n$ 代入西尔维斯特不等式，得： $n+r(B)-n\le r(AB)$ 即 $r(B)\le r(AB)$。
  4. 结合 $r(AB)\le r(B)$ 和 $r(B)\le r(AB)$，可得 $r(AB)=r(B)$。