正交矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶实数方阵，若其满足 $A^{T}A=E$（或等价地 $A{A}^T=E$），则称 $A$ 为正交矩阵 (Orthogonal Matrix)。其中 $E$ 是单位矩阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵。

由定义可知，正交矩阵是可逆的，且其逆矩阵等于其转置矩阵：

$A^{-1}=A^T$

性质

1. 行列式：设 $A$ 是正交矩阵，则其行列式 $|A|=1$ 或 $|A|=-1$。

   • 证明：由 $A^{T}A=E$，两边取行列式得 $|A^{T}A|=|E|$。利用行列式性质 $|A^T|=|A|$ 和 $|AB|=|A||B|$，可得 $|A^T||A|=1$，即 $(|A|{)}^2=1$。因此 $|A|=\pm 1$。

2. 逆与转置：设 $A$ 是正交矩阵，则其逆矩阵 $A^{-1}$ 和转置矩阵 $A^T$ 也都是正交矩阵。

   • 证明：由于 $A^{-1}=A^T$，只需证明 $A^T$ 是正交矩阵即可。我们需要验证 $(A^T{)}^T{A}^T=E$。因为 $(A^T{)}^T=A$，该式变为 $A{A}^T=E$，此为正交矩阵的定义，故成立。

3. 乘积：两个正交矩阵 $A,B$ 的乘积 $AB$ 依旧是正交矩阵。

   • 证明：我们需要验证 $(AB{)}^T(AB)=E$。 $(AB{)}^T(AB)=B^T{A}^{T}AB=B^T(A^{T}A)B=B^{T}EB=B^{T}B=E$
   • 故 $AB$ 是正交矩阵。

4. 向量组正交性：矩阵 $A$ 是正交矩阵的充要条件是它的列向量组（或行向量组）是标准正交向量组。即，各列（行）向量都是单位向量，且两两正交。

   • 证明（列向量）：设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$，其中 ${\alpha }_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 个列向量。 $A^{T}A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_n^T\end{array}\right)({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^T{\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_1^T{\alpha }_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_n^T{\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_n^T{\alpha }_n\end{array}\right)$
   • $A^{T}A=E$ 的条件等价于 ${\alpha }_i^T{\alpha }_j={\delta }_{ij}$（其中 ${\delta }_{ij}$ 是克罗内克符号）。
   • 当 $i=j$ 时，${\alpha }_i^T{\alpha }_i=\Vert {\alpha }_i{\Vert }^2=1$，说明列向量是单位向量。
   • 当 $i\ne j$ 时，${\alpha }_i^T{\alpha }_j=0$，说明不同的列向量两两正交。

5. 保内积与保模长：正交变换不改变向量之间的内积和向量的模长。设 $A$ 是正交矩阵， $x,y$ 是任意 $n$ 维列向量，则：

   • $(Ax,Ay)=(x,y)$
   • $\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert$
   • 证明：向量内积 $(u,v)$ 可以表示为 $u^{T}v$。 $(Ax,Ay)=(Ax{)}^T(Ay)=x^T{A}^{T}Ay=x^{T}Ey=x^{T}y=(x,y)$
   • 令 $y=x$，则有 $\Vert Ax{\Vert }^2=(Ax,Ax)=(x,x)=\Vert x{\Vert }^2$，开方即得 $\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert$。

6. 实特征值：若正交矩阵 $A$ 有实数特征值 $\lambda$，则该实数特征值只能是 $1$ 或 $-1$。

   • 证明：设 $Ax=\lambda x$，其中 $\lambda$ 是实数， $x$ 是对应的非零实特征向量。
   • 由性质 5，$\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert$。
   • 将 $Ax=\lambda x$ 代入，得 $\Vert \lambda x\Vert =\Vert x\Vert$。
   • 根据范数的性质，$|\lambda |\Vert x\Vert =\Vert x\Vert$。
   • 由于 $x$ 是非零向量，$\Vert x\Vert \ne 0$，两边约去 $\Vert x\Vert$，得 $|\lambda |=1$。
   • 因为 $\lambda$ 是实数，所以 $\lambda =1$ 或 $\lambda =-1$。
   • 注：正交矩阵不一定有实数特征值。例如 $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 是正交矩阵，其特征值为 $\pm i$。

7. 关于 $|A+E|$ 和 $|A-E|$ 的性质：

   • $|A+E|=0$ 等价于 $-1$ 是 $A$ 的特征值。
   • $|A-E|=0$ 等价于 $1$ 是 $A$ 的特征值。
   • 结论 1：若 $A$ 是奇数阶正交矩阵：
     • 若 $|A|=1$，则 $1$ 必是其特征值，即 $|A-E|=0$。
     • 若 $|A|=-1$，则 $-1$ 必是其特征值，即 $|A+E|=0$。
     • 因此，奇数阶正交矩阵必有特征值 $1$ 或 $-1$。
   • 结论 2：若 $A$ 是偶数阶正交矩阵且 $|A|=-1$，则 $1$ 和 $-1$ 都是其特征值，即 $|A+E|=0$ 且 $|A-E|=0$。
     • 证明： $|A+E|=|A+A{A}^T|=|A(E+A^T)|=|A||(E+A{)}^T|=|A||A+E|$
     • 若 $|A|=-1$，则上式变为 $|A+E|=-|A+E|$，即 $2|A+E|=0$，故 $|A+E|=0$。 $|A-E|=|A-A{A}^T|=|A(E-A^T)|=|A||(E-A{)}^T|=|A||E-A|$
     • 由于 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$n$ 为偶数，$|E-A|=|(-1)(A-E)|=(-1{)}^n|A-E|=|A-E|$。
     • 若 $|A|=-1$，则上式变为 $|A-E|=-|A-E|$，即 $2|A-E|=0$，故 $|A-E|=0$。

8. 设 $A$ 是正交矩阵，若 $A$ 有不同的实数特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$（必为 $1$ 与 $-1$），则它们对应的特征向量相互正交

9. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

   1. $A$ 是正交矩阵且 $|A|=1⟺A$ 是非零矩阵且对任意 $i,j$ 都有 $A_{ij}=a_{ij}$。
   2. $A$ 是正交矩阵且 $|A|=-1⟺A$ 是非零矩阵且对任意 $i,j$ 都有 $A_{ij}=-a_{ij}$。

例题

[选择题]

1. 设 $A=(a_{ij})$ 为三阶非零矩阵，若 $A_{ij}=-a_{ij}$，则 ()

• A. $(A+E)x=0$ 只有零解
• B. $(A-E)x=0$ 只有零解
• C. $(A+E)x=0$ 有非零解
• D. $(A-E)x=0$ 有非零解

[答案]

答案：C. 由已知条件 $A^{\ast }=-A^T$，两边取行列式 $|A^{\ast }|=|A{|}^2=|-A^T|=(-1{)}^3|A|$，又 $A$ 为非零矩阵，不妨设 $a_{11}\ne 0$，则 $|A|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{12}{A}_{12}=-a_{11}^2-a_{12}^2-a_{13}^2<0$，故 $|A|\ne 0$. 于是有 $|A|=-1$，由性质 7 有 $|A+E|=0$，故 $(A+E)x=0$ 有非零解.