行列式的展开公式

行列式展开

行列式展开是计算高阶行列式的基本方法之一。其核心思想是降阶，即将一个 $n$ 阶行列式转化为若干个 $n-1$ 阶行列式的计算。

余子式

在 $n$ 阶行列式 $D=|a_{ij}|$ 中，划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素按原来的相对位置构成一个 $n-1$ 阶行列式，称之为元素 $a_{ij}$ 的余子式 (Minor)，记作 $M_{ij}$。

例如，在三阶行列式 $D$ 中：

$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

元素 $a_{11}$ 的余子式为：

$M_{11}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

元素 $a_{32}$ 的余子式为：

$M_{32}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|$

代数余子式

元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 (Cofactor) 定义为带符号的余子式，记作 $A_{ij}$。

$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

这里的符号 $(-1{)}^{i+j}$ 取决于元素 $a_{ij}$ 的行标 $i$ 和列标 $j$ 之和的奇偶性。其符号规律呈“棋盘格”分布：

$\left(\begin{array}{cccc}+& -& +& \cdots \\ -& +& -& \cdots \\ +& -& +& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

重要结论：代数余子式 $A_{ij}$ 的值由行列式中不属于第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素所决定，因此 $A_{ij}$ 的取值与元素 $a_{ij}$ 本身无关。

行列式展开公式

定理 (行列式按行/列展开)：$n$ 阶行列式的值，等于其任意一行（或一列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

• 按第 $i$ 行展开： $D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$

• 按第 $j$ 列展开： $D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$

考研提示：在计算行列式时，应选择零元素最多的那一行或那一列进行展开，这样可以大大简化计算量。

重要推论 (异乘变零)：行列式中某一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

• 若 $i\ne k$，$k$ 代表另一行： $a_{i1}{A}_{k1}+a_{i2}{A}_{k2}+\cdots +a_{in}{A}_{kn}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=0$
• 若 $j\ne k$，$k$ 代表另一列： $a_{1j}{A}_{1k}+a_{2j}{A}_{2k}+\cdots +a_{nj}{A}_{nk}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}=0$

两个公式的统一表示： 使用克罗内克符号 ${\delta }_{ik}$ (${\delta }_{ik}=1$ 当 $i=k$; ${\delta }_{ik}=0$ 当 $i\ne k$)，可以统一以上两个结论： ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=D\cdot {\delta }_{ik}$