行列式为零的问题

对于一个 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$，条件 $|\mathbf{A}|=0$ 是线性代数中的一个核心枢纽，它将矩阵的奇异性（不可逆性）与线性方程组的解、向量组的线性相关性、矩阵的秩以及特征值等多个重要概念联系在一起。

判别条件

以下条件均为判断 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的行列式是否为零的等价命题或常用方法。

1. 基本性质与特殊等式

• 直接性质：
  • 矩阵 $\mathbf{A}$ 中有某一行（或列）的元素全为零。
  • 矩阵 $\mathbf{A}$ 中有两行（或列）成比例（包括两行或两列完全相同）。
• 源于行列式性质的等式： 在某些题目中，会给出涉及行列式的等式，可以据此判断 $|\mathbf{A}|=0$。 例如，若已知 $|k\mathbf{A}|=|\mathbf{A}|$ 且 $k^n\ne 1$（$n$ 为矩阵阶数），则有 $k^n|\mathbf{A}|=|\mathbf{A}|$，即 $(k^n-1)|\mathbf{A}|=0$。由于 $k^n-1\ne 0$，必有 $|\mathbf{A}|=0$。
• 重要推论：
  • 若 $|\mathbf{A}|=(-1{)}^n|\mathbf{A}|$ ，则必有 $|\mathbf{A}|=0$。
  • 若 $\mathbf{A}$ 为 奇数阶的反对称矩阵（即 ${\mathbf{A}}^T=-\mathbf{A}$ 且 $n$ 为奇数），则必有 $|\mathbf{A}|=0$。 证明：$|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}^T|=|-\mathbf{A}|=(-1{)}^n|\mathbf{A}|=-|\mathbf{A}|$。因此 $2|\mathbf{A}|=0$，即 $|\mathbf{A}|=0$。

2. 与特征值的关系

矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式等于其所有特征值的乘积，即 $|\mathbf{A}|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$。

因此，$|\mathbf{A}|=0$ 的充分必要条件是矩阵 $\mathbf{A}$ 至少有一个特征值为 $0$。

换言之，$\lambda =0$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值 $⟺|\mathbf{A}|=0$。

3. 与齐次线性方程组的关系

这是判断行列式是否为零的最重要的应用之一。

$|\mathbf{A}|=0$ 的充分必要条件是齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解。

• $|\mathbf{A}|=0⟺\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解。
• $|\mathbf{A}|\ne 0⟺\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 只有零解。

4. 与矩阵秩的关系

矩阵的秩是其最重要的数字特征之一。

$|\mathbf{A}|=0$ 的充分必要条件是矩阵 $\mathbf{A}$ 不满秩，即 $rank(\mathbf{A})<n$。

• $|\mathbf{A}|=0⟺rank(\mathbf{A})<n⟺\mathbf{A}$ 是奇异矩阵 (Singular Matrix)。
• $|\mathbf{A}|\ne 0⟺rank(\mathbf{A})=n⟺\mathbf{A}$ 是非奇异矩阵 (Non-singular Matrix) 或可逆矩阵。

5. 与向量组线性相关性的关系

矩阵可以看作是行向量组或列向量组的集合。

$|\mathbf{A}|=0$ 的充分必要条件是矩阵 $\mathbf{A}$ 的行向量组线性相关，也等价于其列向量组线性相关。

这是因为 $rank(\mathbf{A})$ 定义为行（或列）向量组的极大线性无关组中向量的个数。

• 行（列）向量组线性相关 $⟺rank(\mathbf{A})<n⟺|\mathbf{A}|=0$。
• 行（列）向量组线性无关 $⟺rank(\mathbf{A})=n⟺|\mathbf{A}|\ne 0$。

证明方法：反证法

在一些证明题中，需要证明某个矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式为零。如果直接证明比较困难，可以考虑使用反证法。

基本步骤：

1. 假设 $|\mathbf{A}|\ne 0$。
2. 推导：基于此假设，可以得出一系列强有力的结论，例如：
   • $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵，存在 ${\mathbf{A}}^{-1}$。
   • 齐次方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 只有零解。
   • $\mathbf{A}$ 的秩为 $n$，$rank(\mathbf{A})=n$。
   • $\mathbf{A}$ 的行（列）向量组线性无关。
3. 寻找矛盾：将推导出的结论与题目给出的已知条件进行对比，导出矛盾。
4. 得出结论：假设不成立，因此必有 $|\mathbf{A}|=0$。

示例：若 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵，且存在一个非零列向量 $\mathbf{\alpha }$ 使得 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=0$，证明 $|\mathbf{A}|=0$。 证明：假设 $|\mathbf{A}|\ne 0$。则 $\mathbf{A}$ 可逆。在 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=0$ 两边同时左乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$，得 ${\mathbf{A}}^{-1}(\mathbf{A}\mathbf{\alpha })={\mathbf{A}}^{-1}0$，即 $({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{\alpha }=0$，化简为 $\mathbf{E}\mathbf{\alpha }=0$，即 $\mathbf{\alpha }=0$。这与题目给出的“非零列向量 $\mathbf{\alpha }$”相矛盾。 故假设不成立，必有 $|\mathbf{A}|=0$。