二维随机变量函数分布

离散型

[问答题]

ttt

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$。设 $Z=g(X,Y)$，则 $Z$ 也是一个离散型随机变量。

其分布律的求解方法（合并法）：

1. 找出 $Z$ 所有可能的取值 $z_k$。
2. 对每一个可能的取值 $z_k$，找出所有满足 $g(x_i,y_j)=z_k$ 的 $(i,j)$ 对。
3. 将对应的概率 $p_{ij}$ 相加，即为 $P\{Z=z_k\}$。

$P\{Z=z_k\}={\sum }_{g(x_i,y_j)=z_k}P\{X=x_i,Y=y_j\}$

连续型

设二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$。求 $Z=g(X,Y)$ 的分布，通常有两种方法：分布函数法和换元法。

换元法

换元法适用于 $Z=g(X,Y)$ 是一个可逆变换（双射）的一部分的情况。通常引入一个辅助变量，构成一个从 $(X,Y)$ 到 $(U,V)$ 的一一映射。

设 $U=g_1(X,Y)$, $V=g_2(X,Y)$，并且这个变换存在反函数 $X=h_1(U,V)$, $Y=h_2(U,V)$，且该反函数具有连续的偏导数。则新的二维随机变量 $(U,V)$ 的联合概率密度为：

$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))|J|$

其中，$J$ 是 雅可比行列式（Jacobian），它代表了坐标变换的伸缩因子：

$J=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)$

得到 $f_{U,V}(u,v)$ 后，再通过积分求出 $U$ 或 $V$ 的边缘密度。例如，求 $U$ 的边缘密度：

$f_U(u)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{U,V}(u,v)dv$

分布函数法

分布函数法是一种普适性的方法，其基本步骤如下：

1. 写出分布函数定义： 对于 $Z=g(X,Y)$，其分布函数为 $F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\}$。
2. 转化为二重积分： 将不等式 $g(X,Y)\le z$ 在 $xOy$ 平面上表示为一个区域 $D_z$。则： $F_Z(z)={\iint }_{D_z}f(x,y)dxdy$
3. 求导得密度函数： 对 $F_Z(z)$ 求导，得到 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$： $f_Z(z)=\frac{d{F}_Z(z)}{dz}$

常见函数分布类型

和的分布

$Z=X+Y$。若 $X,Y$ 独立，使用卷积公式。

卷积公式是求独立随机变量和的分布的专用公式，是换元法的一个重要特例。

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$

差的分布

$Z=X-Y$。若 $X,Y$ 独立，可以看作 $Z=X+(-Y)$。设 $-Y$ 的密度为 $f_{-Y}(y)=f_Y(-y)$，则：

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(x-z)dx$

积的分布

$Z=XY$。若 $X,Y$ 独立，其密度函数为：

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(\frac{z}{x})\frac{1}{|x|}dx$

最值的分布

设 $X,Y$ 相互独立，分布函数分别为 $F_X(x),F_Y(y)$。

• $M=\max \{X,Y\}$ 的分布函数： $\begin{array}{rl}{F}_M(z)& =P\{M\le z\}=P\{X\le z,Y\le z\}\\ & =P\{X\le z\}P\{Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z)\end{array}$
• $N=\min \{X,Y\}$ 的分布函数： $\begin{array}{rl}{F}_N(z)& =P\{N\le z\}=1-P\{N>z\}\\ & =1-P\{X>z,Y>z\}\\ & =1-P\{X>z\}P\{Y>z\}=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))\end{array}$ 若 $X,Y$ 独立同分布，共同分布函数为 $F(x)$，则：
• $F_M(z)=[F(z){]}^2$
• $F_N(z)=1-[1-F(z){]}^2$

例题

[问答题]

设随机变量 $X,Y$ 相互独立，其概率密度分别为

$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0\\ 0,& \text{其他}\end{array},f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2y,& 0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

(1) 求 $(X,Y)$ 的概率密度。

(2) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度。

[答案]

解： (1) 由于 $X,Y$ 相互独立，其联合概率密度为边缘密度的乘积： $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2y{e}^{-x},& x>0,0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

(2) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度，使用卷积公式。

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$

被积函数 $f_X(x)f_Y(z-x)$ 非零的条件是 $x>0$ 且 $0<z-x<1$。

由 $0<z-x<1$ 可得 $z-1<x<z$。

因此，积分变量 $x$ 的取值范围是 $\max (0,z-1)<x<z$。需要对 $z$ 分情况讨论。

• 当 $z\le 0$ 时，积分区间为空集，故 $f_Z(z)=0$。
• 当 $0<z\le 1$ 时，积分区间为 $(0,z)$。 $\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_0^z{e}^{-x}\cdot 2(z-x)dx\\ & =2z{\int }_0^z{e}^{-x}dx-2{\int }_0^{z}x{e}^{-x}dx\\ & =2z[-e^{-x}{]}_0^z-2[-x{e}^{-x}-e^{-x}{]}_0^z\\ & =2z(1-e^{-z})-2[(-z{e}^{-z}-e^{-z})-(-1)]\\ & =2z-2z{e}^{-z}+2z{e}^{-z}+2e^{-z}-2\\ & =2(z-1+e^{-z})\end{array}$
• 当 $z>1$ 时，积分区间为 $(z-1,z)$。 $\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_{z-1}^z{e}^{-x}\cdot 2(z-x)dx\end{array}$ 令 $u=z-x$，则 $x=z-u$, $dx=-du$，积分限从 $u=1$ 到 $u=0$。 $\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_1^{0}2u\cdot e^{-(z-u)}(-du)=2e^{-z}{\int }_0^{1}u{e}^{u}du\\ & =2e^{-z}\left([u{e}^u{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{u}du\right)\\ & =2e^{-z}\left(e-[e^u{]}_0^1\right)\\ & =2e^{-z}(e-(e-1))=2e^{-z}\end{array}$

综上所述，$Z=X+Y$ 的概率密度为：

$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}2(z-1+e^{-z}),& 0<z\le 1\\ 2e^{-z},& z>1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

混合型

当一个离散型随机变量 $X$ 和一个连续型随机变量 $Y$ 组合成函数 $Z=g(X,Y)$ 时，$Z$ 通常是连续型随机变量。此时求解其分布函数通常使用全概率公式。

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,\dots$。则 $Z=g(X,Y)$ 的分布函数为：

$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\}\\ & =\sum _{i}P\{g(X,Y)\le z|X=x_i\}P\{X=x_i\}\\ & =\sum _{i}P\{g(x_i,Y)\le z\}\cdot p_i\end{array}$

其中 $P\{g(x_i,Y)\le z\}$ 是一个只含连续随机变量 $Y$ 的概率，可以通过对 $Y$ 的密度函数积分来计算。最后对 $F_Z(z)$ 求导得到概率密度 $f_Z(z)$。

例题

[问答题]

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，其中 $X$ 概率分布为 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0.3& 0.7\end{array}\right)$，而 $Y$ 的概率密度为 $f_Y(y)$，求随机变量 $U=X+Y$ 的概率密度 $g(u)$

[答案]

解：此为混合型随机变量函数的分布，使用全概率公式求解 $U$ 的分布函数 $G(u)$。 $\begin{array}{rl}G(u)& =P\{U\le u\}=P\{X+Y\le u\}\\ & =P\{X+Y\le u,X=1\}+P\{X+Y\le u,X=2\}\\ & =P\{Y\le u-1|X=1\}P\{X=1\}+P\{Y\le u-2|X=2\}P\{X=2\}\end{array}$ 因为 $X,Y$ 相互独立，一个变量的取值不影响另一个变量的分布： $\begin{array}{rl}G(u)& =P\{Y\le u-1\}P\{X=1\}+P\{Y\le u-2\}P\{X=2\}\\ & =0.3F_Y(u-1)+0.7F_Y(u-2)\end{array}$ 其中 $F_Y(y)$ 是 $Y$ 的分布函数。对 $G(u)$ 求导得到概率密度 $g(u)$： $\begin{array}{rl}g(u)& =G^{\prime }(u)=\frac{d}{du}[0.3F_Y(u-1)+0.7F_Y(u-2)]\\ & =0.3f_Y(u-1)+0.7f_Y(u-2)\end{array}$