二维连续型随机变量

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 可以表示为

$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dvdu$

其中 $f(x,y)$ 是一个非负的可积函数，则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数。

联合分布函数与联合概率密度

联合分布函数定义为 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$。

联合概率密度 $f(x,y)$ 是一个非负函数，它与联合分布函数 $F(x,y)$ 的关系如下： $F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dvdu$ 在 $f(x,y)$ 的连续点处，有： $f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$ 随机点 $(X,Y)$ 落入平面区域 $G$ 内的概率为： $P\{(X,Y)\in G\}={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$

性质

联合概率密度函数 $f(x,y)$ 具有以下性质：

1. 非负性：$f(x,y)\ge 0$。
2. 归一性： ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy=1$
3. 改变 $f(x,y)$ 在有限个点、有限条曲线上的函数值，不改变其积分值，因此不影响其作为概率密度的性质。

边缘分布函数与边缘概率密度

边缘分布函数是从联合分布函数中通过令一个变量趋于无穷而得到的。

• $X$ 的边缘分布函数： $F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<\infty \}=F(x,\infty )={\int }_{-\infty }^x\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }f(u,v)dv\right]du$
• $Y$ 的边缘分布函数： $F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X<\infty ,Y\le y\}=F(\infty ,y)={\int }_{-\infty }^y\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }f(u,v)du\right]dv$

边缘概率密度是将联合概率密度中的另一个变量在整个取值范围内积分得到的。

• $X$ 的边缘概率密度： $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$
• $Y$ 的边缘概率密度： $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$

条件分布函数与条件概率密度

在 $f_Y(y)>0$ 的条件下，$X$ 关于 $Y=y$ 的条件概率密度为：

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

对应的条件分布函数为：

$F_{X|Y}(x|y)=P\{X\le x|Y=y\}={\int }_{-\infty }^x{f}_{X|Y}(u|y)du$

在 $f_X(x)>0$ 的条件下，$Y$ 关于 $X=x$ 的条件概率密度为：

$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

对应的条件分布函数为：

$F_{Y|X}(y|x)=P\{Y\le y|X=x\}={\int }_{-\infty }^y{f}_{Y|X}(v|x)dv$

随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件是它们的联合概率密度等于它们边缘概率密度的乘积，即：

$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则它们的条件概率密度等于其自身的边缘概率密度：

$f_{X|Y}(x|y)=f_X(x),f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)$

二维均匀分布

设 $G$ 是平面上的一个有界区域，其面积为 $A_G$。若二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为：

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A_G},& (x,y)\in G\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

则称 $(X,Y)$ 在区域 $G$ 上服从二维均匀分布。

二维正态分布

若二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为：

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2-2\rho \left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]\right\}$

其中 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,|\rho |<1$ 均为常数，则称 $(X,Y)$ 服从参数为 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho$ 的二维正态分布，记为 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$。

性质

1. 边缘分布的正态性：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布。 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 注意：反之不成立。即两个边缘分布都是正态分布，其联合分布不一定是二维正态分布。

2. 条件分布的正态性：二维正态分布的条件分布也是一维正态分布。

   • 给定 $X=x$， $Y$ 的条件分布为： $Y\mid X=x\sim N\left({\mu }_2+\rho \frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(x-{\mu }_1),{\sigma }_2^2(1-{\rho }^2)\right)$
   • 给定 $Y=y$， $X$ 的条件分布为： $X\mid Y=y\sim N\left({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2),{\sigma }_1^2(1-{\rho }^2)\right)$

3. 独立性与不相关的等价性：对于服从二维正态分布的随机变量 $(X,Y)$，参数 $\rho$ 是 $X$ 和 $Y$ 的相关系数。二者相互独立的充要条件是它们不相关，即 $\rho =0$。 $(X,Y)\text{ 相互独立}⟺\rho =\text{Cov}(X,Y)=0$ 这是一个非常重要的性质，因为对于一般随机变量，独立性可以推出不相关，但反之不成立。

4. 线性组合的正态性：若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则它们的任意非零线性组合 $Z=aX+bY$ (其中 $a,b$ 不全为零) 也服从一维正态分布。 设 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$、$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 且相互独立。则任意实数 $a,b$ 下的线性组合$aX+bY$ 仍服从正态分布，且

$$aX+bY\sim N(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2).$$