二维离散型随机变量

若二维随机变量 $(X,Y)$ 的所有可能取值为有限对或可列无穷多对 $(x_i,y_j)$，则称 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量。

联合分布律

称 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$，$(i=1,2,\dots ;j=1,2,\dots )$ 为二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律，或称为联合概率分布。

数列 $\{p_{ij}\}$ 是二维离散型随机变量概率分布的充要条件是：

1. 非负性：$p_{ij}\ge 0$ 对所有 $i,j$ 成立。
2. 归一性： ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$

联合分布律通常可以用一个二维表格来表示：

$Y\setminus X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_i$	$\cdots$
$y_1$	$p_{11}$	$p_{21}$	$\cdots$	$p_{i1}$	$\cdots$
$y_2$	$p_{12}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{i2}$	$\cdots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$	$\cdots$
$y_j$	$p_{1j}$	$p_{2j}$	$\cdots$	$p_{ij}$	$\cdots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\cdots$	$⋮$	$\ddots$

由联合分布律可以得到随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数：

$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}={\sum }_{x_i\le x}{\sum }_{y_j\le y}{p}_{ij}$

联合分布函数 $F(x,y)$ 的值是所有落在以 $(x,y)$ 为顶点的左下角无穷矩形域内的点 $(x_i,y_j)$ 的概率之和。

对于平面上的任意区域 $G$，随机点 $(X,Y)$ 落入 $G$ 内的概率为：

$P\{(X,Y)\in G\}={\sum }_{(x_i,y_j)\in G}{p}_{ij}$

边缘分布律

边缘分布律是关于二维随机变量 $(X,Y)$ 的某个分量（如 $X$ 或 $Y$）的概率分布律。

• 关于 $X$ 的边缘分布律为： $p_{i\cdot }=P\{X=x_i\}={\sum }_{j=1}^{\infty }P\{X=x_i,Y=y_j\}={\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij},i=1,2,\dots$
• 关于 $Y$ 的边缘分布律为： $p_{\cdot j}=P\{Y=y_j\}={\sum }_{i=1}^{\infty }P\{X=x_i,Y=y_j\}={\sum }_{i=1}^{\infty }{p}_{ij},j=1,2,\dots$

在联合分布律的表格中，$X$ 的边缘分布律就是各列概率之和，$Y$ 的边缘分布律就是各行概率之和。

条件分布律

条件分布律是在给定一个随机变量取特定值的条件下，另一个随机变量的概率分布。

• 在 $P\{X=x_i\}=p_{i\cdot }>0$ 的条件下，$Y$ 关于 $X=x_i$ 的条件分布律为： $P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }},j=1,2,\dots$
• 在 $P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}>0$ 的条件下，$X$ 关于 $Y=y_j$ 的条件分布律为： $P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\dots$

任何条件分布律都是一个完备的概率分布，因此也满足非负性和归一性。例如，对于给定的 $x_i$，有：

${\sum }_{j=1}^{\infty }P\{Y=y_j|X=x_i\}={\sum }_{j=1}^{\infty }\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }}=\frac{1}{p_{i\cdot }}{\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=\frac{p_{i\cdot }}{p_{i\cdot }}=1$