一维连续性随机变量

一维连续型随机变量

如果对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，存在非负函数 $f(x)$，使得对于任意实数 $x$，有

$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

则称 $X$ 为连续型随机变量，其中函数 $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数 (Probability Density Function, pdf)，$F(x)$ 称为累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, cdf)。

概率密度函数

概率密度函数 $f(x)$ 描述了随机变量在某一点附近取值的概率密度。

性质

1. 非负性: $f(x)\ge 0$.
2. 归一性: ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$.
3. 对于任意实数 $x_1,x_2$ ($x_1<x_2$)， $P\{x_1<X\le x_2\}={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx=F(x_2)-F(x_1)$
4. 对连续型随机变量而言，其在任意一点取值的概率为 $0$，即 $P\{X=a\}=0$。因此 $P\{x_1<X\le x_2\}=P\{x_1\le X\le x_2\}=P\{x_1<X<x_2\}=P\{x_1\le X<x_2\}$
5. 若 $f(x)$ 在点 $x$ 处连续，则有 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

分布

均匀分布

若连续型随机变量 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从均匀分布，记为 $X\sim U(a,b)$。

• 概率密度函数: $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
• 累积分布函数: $F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le a\\ \frac{x-a}{b-a},& a<x\le b\\ 1,& x>b\end{array}$

指数分布

若连续型随机变量 $X$ 服从指数分布，记为 $X\sim E(\lambda )$，其中参数 $\lambda >0$。

• 概率密度函数: $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$
• 累积分布函数: $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

无记忆性

指数分布是连续型随机变量中唯一具有无记忆性的分布。其数学表达为：对于任意 $s,t>0$，

$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$

证明:

根据条件概率的定义，

$P(X>s+t|X>s)=\frac{P(\{X>s+t\}\cap \{X>s\})}{P(X>s)}$

因为事件 $\{X>s+t\}$ 必然包含在事件 $\{X>s\}$ 中，所以它们的交集就是 $\{X>s+t\}$。

$P(X>s+t|X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}$

对于服从参数为 $\lambda$ 的指数分布的随机变量 $X$，其生存函数为 $P(X>x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}$ ($x>0$)。因此，

$\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=\frac{e^{-\lambda s}{e}^{-\lambda t}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$

直观解释:

参数 $\lambda$ 代表失效率，指数分布往往用来描述一个事物首次发生某个事件（如损坏、失效）前等待的时间。例如，一个元件的寿命 $X$ 服从指数分布。无记忆性意味着，如果这个元件已经使用了 $s$ 小时，那么它还能继续使用超过 $t$ 小时的概率，与一个全新的元件能使用超过 $t$ 小时的概率是完全相同的。也就是说，元件的“寿命”不会因为已经使用过一段时间而“老化”，它“忘记”了自己已经工作了多久。

正态分布

若连续型随机变量 $X$ 服从正态分布（或高斯分布），记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu$ 为均值，${\sigma }^2$ 为方差。

• 概率密度函数: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},(-\infty <x<+\infty )$
  • $f(x)$ 的图形关于直线 $x=\mu$ 对称。
  • 在 $x=\mu$ 处取得唯一极值点（最大值）：$f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$。
  • 在 $x=\mu \pm \sigma$ 处有拐点。
• 累积分布函数: $F(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$

当 $\mu =0,\sigma =1$ 时，称为标准正态分布，记为 $Z\sim N(0,1)$。

• 标准正态分布的密度函数用 $\phi (x)$ 表示：$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$。
• 标准正态分布的分布函数用 $\Phi (x)$ 表示：$\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$。
• $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$。
• 上 $\alpha$ 分位数 $z_{\alpha }$：满足 $P(Z>z_{\alpha })=\alpha$ 的点，即 ${\int }_{z_{\alpha }}^{+\infty }\phi (x)dx=\alpha$ 或 $1-\Phi (z_{\alpha })=\alpha$。

性质

• 标准化：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。于是，对于任意 $x$， $P\{X\le x\}=P\left\{\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{x-\mu }{\sigma }\right\}=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$
• 线性性质：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Y=aX+b$ ($a\ne 0$) 服从 $Y\sim N(a\mu +b,(a\sigma {)}^2)$

应用

例题

[问答题]

已知随机变量 $X$ 的概率密度为

$f(x)=\{\begin{array}{ll}Ax,& 1<x<2\\ B,& 2\le x<3\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

且 $P\{1<X<2\}=P\{2<X<3\}$，求常数 $A,B$，分布函数 $F(x)$ 以及概率 $P\{2<X<4\}$。

[答案]

解：

1. 求常数 A, B 由概率密度函数的归一性可得： ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_1^{2}Axdx+{\int }_2^{3}Bdx=1$$[\frac{A}{2}{x}^2{]}_1^2+[Bx{]}_2^3=\frac{A}{2}(4-1)+B(3-2)=\frac{3}{2}A+B=1$ 又根据已知条件 $P\{1<X<2\}=P\{2<X<3\}$，有： ${\int }_1^{2}Axdx={\int }_2^{3}Bdx$$\frac{3}{2}A=B$ 联立求解方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}A+B=1\\ \frac{3}{2}A=B\end{array}$ 得 $B+B=1⟹2B=1$，所以 $B=\frac{1}{2}$。 代入得 $\frac{3}{2}A=\frac{1}{2}$，所以 $A=\frac{1}{3}$。

2. 求分布函数 F(x) 已求得概率密度为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}x,& 1<x<2\\ \frac{1}{2},& 2\le x<3\\ 0,& \text{其他}\end{array}$ 根据定义 $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$ 分段计算：

   • 当 $x\le 1$ 时，$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}0dt=0$。
   • 当 $1<x<2$ 时，$F(x)={\int }_1^x\frac{1}{3}tdt=[\frac{1}{6}{t}^2{]}_1^x=\frac{x^2}{6}-\frac{1}{6}$。
   • 当 $2\le x<3$ 时，$F(x)={\int }_1^2\frac{1}{3}tdt+{\int }_2^x\frac{1}{2}dt=(\frac{2^2}{6}-\frac{1}{6})+[\frac{1}{2}t{]}_2^x=\frac{1}{2}+(\frac{x}{2}-1)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$。
   • 当 $x\ge 3$ 时，$F(x)={\int }_1^2\frac{1}{3}tdt+{\int }_2^3\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。 综上，分布函数为： $F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 1\\ \frac{x^2-1}{6},& 1<x<2\\ \frac{x-1}{2},& 2\le x<3\\ 1,& x\ge 3\end{array}$

3. 求概率 P{2 < X < 4} 方法一：利用概率密度函数 $P\{2<X<4\}={\int }_2^{4}f(x)dx={\int }_2^3\frac{1}{2}dx+{\int }_3^{4}0dx=[\frac{1}{2}x{]}_2^3=\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1}{2}$ 方法二：利用分布函数 $P\{2<X<4\}=F(4)-F(2)=1-\frac{2-1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$